Chapitre 2 • Déterminants
58
2.7.3 Cas n = 2, n = 3
1) n = 2 :
a 11 a 12
a 21 a 22
= a 11 a 22 − a 21 a 12 .
2) n = 3 :
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
= a 11 a 22 a 33 − a 21 a 12 a 33 − a 31 a 22 a 13
− a 11 a 32 a 23 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 .
On peut retrouver ce résultat par la règle de Sarrus : le déterminant d'ordre 3 contient six
termes :
• a 11 a 22 a 33 , a 21 a 32 a 13 , a 31 a 12 a 23 correspondant à des « diagonales descendantes » :
Cf. 2.6.1 1) pp. 49-50.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Cf. 2.5 Déf. p. 46.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
a 11
a 12
a 13
a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
a 11
a 12
a 13
a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
a 11
a 12
a 13
a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
→
→
→
→
a 11
a 12
a 13
a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
a 11
a 12
a 13
a 21
a 22
a 23
→
→
→
→
→
→
a 11
a 12
a 13
a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
a 11
a 12
a 13
a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
a 11
a 12
a 13
a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
→
→
→
→
a 11
a 12
a 13
a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
a 11
a 12
a 13
a 21
a 22
a 23
→
→
→
→
→
→
ou encore, en reportant des lignes en dessous :
• −a 31 a 22 a 13 , −a 11 a 32 a 23 , −a 21 a 12 a 33 correspondant à des « diagonales montantes » :
ou encore :
Mais attention : la règle de Sarrus n'est applicable que pour n = 3 (et n = 2).
Exemple :
a
p q
− p a
r
−q −r a
= a
3 + pqr − pqr + aq
2 + ar
2 + ap
2 = a(a
2 + p
2 + q
2 + r
2 ).
Exercices 2.7.2, 2.7.3, 2.7.7.