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2.7 • Calcul des déterminants
En notant
, on a : B = AT, d'où :
det(B) = det(A)det(T ) = det(A) · 1 = det(A) .
Ainsi :
Proposition
On ne change pas la valeur d'un déterminant en remplaçant (simultanément) chaque
colonne par la somme de celle-ci et d'une combinaison linéaire des colonnes suivantes.
Résultat analogue sur les lignes.
De même, en utilisant la postmultiplication de A par une matrice triangulaire supérieure :
Proposition
On ne change pas la valeur d'un déterminant en remplaçant (simultanément) chaque
colonne par la somme de celle-ci et d'une combinaison linéaire des colonnes précédentes.
Résultat analogue sur les lignes.
Exemple :
Pour (a,b) ∈ K
2 et n 2 , calculer
a b
b a
[n]
.
T =







1
α 21
1
0
α 31 α 32 1
. . .
. . .
. . .
α n1 α n2 . . . α n n−1 1







Cf. 2.7.1 Prop. p. 55.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
a
b
b
a
[n]
=
a + (n − 1)b b
b
a
b
a + (n − 1)b
b
a
[n]
C 1
C 1 +
n
j=2
C j
=
a + (n − 1)b
1 b
b
a
b
1
b
a
[n]
=
a ( n − 1)b
1
b
b
0 a − b
0
0
0
a − b
[n]
L 2
L 2 − L 1
. . .
L n
L n − L 1
=
a + (n − 1 b
(a − b)
)
n−1 .
→
→ →
→
+
Exercices 2.7.1, 2.7.4 à 2.7.6, 2.7.8,
2.7.9.
Résultats très utiles pour le calcul pratique
des déterminants.