Chapitre 2 • Déterminants
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En notant B = (e 1 ,. . . ,e n ) la base canonique de M n,1 (K ), on a :
det(B) = det B
C 1 ,. . . ,C j +
k = j
α k C k ,. . . ,C n
= det B (C 1 ,. . . ,C j ,. . . ,C n ) +
k = j
α k det B (C 1 ,. . . ,C j−1 ,C k ,C j+1 ,. . . ,C n )
= det(A).
Ainsi :
Proposition
On ne change pas la valeur d'un déterminant en remplaçant une colonne par la
somme de celle-ci et d'une combinaison linéaire des autres colonnes.
Résultat analogue sur les lignes.
Remarque :
On peut aussi montrer le résultat précédent en remarquant B = AF , où
Chaque
det B (C 1 ,. . . ,C j−1 ,
C k ,C j+1 ,. . . ,C n ) (k = j)
contient deux fois la colonne C k .
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
F =













1
0
α 1
. . .
0
1 α j−1
1
0
α j+1
. . .
0
α n
1













,
=
1
+1
0
. . .
0
n
1
det (F )
,
et en développant det(F) par rapport à la 1 ère colonne, j − 1 fois :
puis (matrice triangulaire) : det(F) = 1 .
4) Remplacement simultané de colonnes
Soient A = (a i j ) i j ∈ M n (K ), C 1 ,. . . ,C n les colonnes de A. Nous allons montrer qu'on peut,
sans changer det(A), remplacer dans A chaque colonne par la somme de celle-ci et d'une combinaison linéaire des colonnes suivantes.
Pour chaque k de {2,. . . ,n}, soient α k k−1 ,. . . ,α n k−1 ∈ K .
Considérons la matrice B obtenue à partir de A en remplaçant :
C 1 par C 1 + α 21 C 2 + . . . + α n1 C n
C 2 par C 2 + α 32 C 3 + . . . + α n2 C n
. . .
C n−1 par C n−1 + α n n−1 C n
C n par C n .
Résultats très utiles pour le calcul pratique
des déterminants.
Rappelons que l’on omet souvent la
virgule dans les doubles indices :α k k−1
est mis pour α k, k−1 , α n k−1 est mis
pour α n, k−1 .