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2.7 • Calcul des déterminants
2.7 Calcul des déterminants
2.7.1 Déterminant d'une matrice triangulaire
Proposition
Le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au produit des éléments diagonaux :
a 11
. . .
. . .
0
a nn
=
n
i=1
a ii .
Preuve
Récurrence sur n. La propriété est évidente pour n = 1.
Supposons-la vraie pour un n de N
∗ , et soit A =



a 11
. . .
. . .
0
a n+1 n+1


 ∈ T n+1, s (K ).
En développant det(A) par rapport à la (n + 1) ème ligne, on obtient :
det(A) =
a 11 . . .
. . .
0
a nn
a n+1 n+1 = (a 11 . . . a nn )a n+1 n+1 =
n+1
i=1
a ii .
᭿
Remarque :
En particulier, le déterminant d'une matrice diagonale est égal au produit des éléments diagonaux.
2.7.2 Manipulation de lignes et de colonnes
1) Utilisation de la multilinéarité
La multilinéarité du déterminant se traduit schématiquement par :
I
λa 1 j + b 1 j
. . .
λa nj + b nj
II
= λ
I
a 1 j
. . .
a nj
II
+
I
b 1 j
. . .
b nj
II
.
2) Pour que le déterminant d'une matrice soit nul, il faut et il suffit que la famille des colonnes
de cette matrice soit liée (cf. 2.5 Prop. 2 4) p. 47). En particulier, si un déterminant a une colonne nulle, ou deux colonnes colinéaires, ce déterminant est nul.
Résultat analogue pour les lignes.
3) Remplacement d'une colonne par la somme de celle-ci et d'une combinaison
linéaire des autres
Soient A = (a i j ) i j ∈ M n (K ), C 1 ,. . . ,C n les colonnes de A, j ∈ {1,. . . ,n},
(α k ) k = j ∈ K
n−1
.
Considérons la matrice B obtenue à partir de A en remplaçant C j par C j +
k = j
α k C k .
Cf. aussi 2.5 Exemple 2) p. 47.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Les blocs I et II restent en place.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier