Chapitre 2 • Déterminants
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En appliquant ce résultat à
t
A au lieu de A, et en remarquant com(
t
A) =
t com(A) et
det(
t
A) = det(A) (cf. 2.5 Prop. 2 6) p. 47), on obtient :
A ·
t com(A) = det(A)I n ,
et, en transposant le résultat de la page précédente :
t com (A) · A = det(A) I n .
Enonçons le résultat obtenu :
Théorème
∀ A ∈ M n (K ), A ·
t com(A) =
t com(A) · A = det(A)I n .
Corollaire
∀ A ∈ GL n (K ), A
−1
=
1
det(A)
t com(A).
Exemple :
Pour n = 2, si ad − bc = 0, alors A =
a b
c d
est inversible, et
A
−1
=
1
ad − bc
d −b
−c
a
.
Remarque :
La formule précédente, donnant A
−1 à l'aide de com(A), est en pratique quasiment inutilisable dès que n 3 . En effet, l'application de cette formule nécessite apparemment le calcul
d'un déterminant d'ordre n
det(A)
et de n
2 déterminants d'ordre n − 1 (les cofacteurs
dans A).
Exercices 2.6.2, 2.6.3.
Formule très utile pour les exercices
portant sur la comatrice.
Les méthodes à retenir
Comatrice
• Pour manipuler une comatrice, on dispose :
– de sa définition : com(A) = (A i j ) i j , où A i j est le cofacteur de la place (i, j) dans A (ex. 2.6.1)
– des égalités : A
t com(A) =
t com(A)A = det(A)I n (ex. 2.6.2, 2.6.3).
2.6.1 Soient n ∈ N
∗ , M ∈ M n (K ),
A =
0
0
M
0
∈ M n+1 (K ).
Calculer com(A).
2.6.2 Soient n, p ∈ N
∗ , A ∈ M n (K ). Montrer :
A
p = I n ⇒
com(A)
p = I n .
2.6.3 Soit n ∈ N
∗ . Montrer :
∀ A ∈ GL n (K ),
com (A) ∈ GL n (K )
com(A)
−1 = com(A
−1
).
Exercices