2.6 • Développement par rapport à une rangée
53
Remarques :
1) Il est souvent utile de développer un déterminant par rapport à une rangée lorsque cette
rangée comporte peu de termes non nuls (plusieurs termes nuls).
2) Pour le calcul numérique des déterminants, il existe des méthodes nettement plus rapides
que celle consistant à développer par rapport à des rangées.
2.6.2 Comatrice
Soit n ∈ N
∗ .
Définition
Soit A = (a i j ) i j ∈ M n (K ) . On appelle comatrice de A la matrice carrée d'ordre n,
notée com(A), définie par :
com(A) = (A i j ) i j =
A 11 . . . A 1n
. . .
. . .
A n1 . . . A nn
,
où A i j est le cofacteur de la place (i, j) dans A.
On a vu (2.6.1 Prop. 1) p. 52) :
∀ j ∈ {1,. . . ,n},
n
i=1
a i j A i j = det(A).
Intéressons-nous à
n
i=1
a i j A ik , pour ( j,k) ∈ {1,. . . ,n}
2 fixé tel que j = k.
Considérons la matrice B = (b i p ) i p obtenue à partir de A en remplaçant, dans A, la k ème colonne par la j ème colonne de A :
B =
a 11 . . . a 1 j . . . a 1k−1 a 1 j a 1k+1 . . . a 1n
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a n1 . . . a nj . . . a n k−1 a nj a n k+1 . . . a nn
.
↑
k ème colonne
D'une part, det(B) = 0, puisque B a deux colonnes égales.
D'autre part, en développant det(B) par rapport à la k ème colonne, on a :
det(B) =
n
i=1
b ik B ik =
n
i=1
a i j A ik ,
puisque les cofacteurs des éléments de la k ème colonne sont les mêmes dans B que dans A.
Ainsi :
n
i=1
a i j A ik = 0.
On a donc prouvé :
∀ ( j,k) ∈ {1,. . . ,n}
2 ,
n
i=1
a i j A ik =
det(A) si j = k
0
si j = k
.
Mais, pour ( j,k) ∈ {1,. . . ,n}
2
,
n
i=1
a i j A ik est le ( j,k)
`
eme terme du produit de
t A par com(A),
d'où :
t A · com(A) =
det(A)
0
0
det(A)
= det(A) I n .
Ainsi, la comatrice de A est la matrice
des cofacteurs de A.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercice 2.6.1.
Penser à considérer cette matrice B.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Le produit de t A par com(A) est noté
t Acom(A) ou t A · com(A) , selon la
commodité de lecture.
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Remarques :
1) Il est souvent utile de développer un déterminant par rapport à une rangée lorsque cette
rangée comporte peu de termes non nuls (plusieurs termes nuls).
2) Pour le calcul numérique des déterminants, il existe des méthodes nettement plus rapides
que celle consistant à développer par rapport à des rangées.
2.6.2 Comatrice
Soit n ∈ N
∗ .
Définition
Soit A = (a i j ) i j ∈ M n (K ) . On appelle comatrice de A la matrice carrée d'ordre n,
notée com(A), définie par :
com(A) = (A i j ) i j =
A 11 . . . A 1n
. . .
. . .
A n1 . . . A nn
,
où A i j est le cofacteur de la place (i, j) dans A.
On a vu (2.6.1 Prop. 1) p. 52) :
∀ j ∈ {1,. . . ,n},
n
i=1
a i j A i j = det(A).
Intéressons-nous à
n
i=1
a i j A ik , pour ( j,k) ∈ {1,. . . ,n}
2 fixé tel que j = k.
Considérons la matrice B = (b i p ) i p obtenue à partir de A en remplaçant, dans A, la k ème colonne par la j ème colonne de A :
B =
a 11 . . . a 1 j . . . a 1k−1 a 1 j a 1k+1 . . . a 1n
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a n1 . . . a nj . . . a n k−1 a nj a n k+1 . . . a nn
.
↑
k ème colonne
D'une part, det(B) = 0, puisque B a deux colonnes égales.
D'autre part, en développant det(B) par rapport à la k ème colonne, on a :
det(B) =
n
i=1
b ik B ik =
n
i=1
a i j A ik ,
puisque les cofacteurs des éléments de la k ème colonne sont les mêmes dans B que dans A.
Ainsi :
n
i=1
a i j A ik = 0.
On a donc prouvé :
∀ ( j,k) ∈ {1,. . . ,n}
2 ,
n
i=1
a i j A ik =
det(A) si j = k
0
si j = k
.
Mais, pour ( j,k) ∈ {1,. . . ,n}
2
,
n
i=1
a i j A ik est le ( j,k)
`
eme terme du produit de
t A par com(A),
d'où :
t A · com(A) =
det(A)
0
0
det(A)
= det(A) I n .
Ainsi, la comatrice de A est la matrice
des cofacteurs de A.
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Gé
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Exercice 2.6.1.
Penser à considérer cette matrice B.
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Gé
ométrie Monier
Le produit de t A par com(A) est noté
t Acom(A) ou t A · com(A) , selon la
commodité de lecture.