Chapitre 2 • Déterminants
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Définition
Soit A = (a i j ) i j ∈ M n (K ).
1) Pour chaque (i, j) de {1,. . . ,n}
2 , on appelle mineur de la place (i, j) dans A (ou,
par abus : mineur de a i j dans A) le déterminant ∆ i j d'ordre n − 1 obtenu en supprimant dans A la i ème ligne et la j ème colonne :
∆ i j =
a 11
. . . a 1 j−1
a 1 j+1
. . .
a 1n
. . .
. . .
. . .
. . .
a i−1 1 . . . a i−1 j−1 a i−1 j+1 . . . a i−1 n
a i+1 1 . . . a i+1 j−1 a i+1 j+1 . . . a i+1 n
. . .
. . .
. . .
. . .
a n1
. . . a n j−1
a n j+1 . . . a nn
.
2) Pour chaque (i, j) de {1,. . . ,n}
2 , on appelle cofacteur de la place (i, j) dans A
(ou, par abus : cofacteur de a i j dans A), et on note A i j le produit de (−1) i+ j par le
mineur de la place (i, j) dans A:
A i j = (−1)
i+ j
∆ i j .
Remarque :
Le calcul de ∆ i j et de A i j ne fait pas intervenir les éléments de A situés dans la i ème ligne ni
ceux situés dans la j ème colonne de A.
On appelle rangée d'une matrice ou d'un déterminant toute ligne ou colonne de cette
matrice ou de ce déterminant.
Proposition
Développement d'un déterminant par rapport à une rangée
)Soit A = (a i j ) i j ∈ M n (K ) . On a :
1) ∀ j ∈ {1,. . . ,n}, det(A) =
n
i=1
a i j A i j (développement de det(A) par rapport à la
j ème colonne)
2) ∀ i ∈ {1,. . . ,n}, det(A) =
n
j=1
a i j A i j (développement de det(A) par rapport à la
i ème ligne).
Preuve
1) Cf. plus haut, pp. 49-51.
2) Se déduit de 1) appliqué à
t
A au lieu de A.
᭿
Exemple :
En développant par rapport à la 4 ème colonne :
2 6 −3
4
1 3
4 −5
4 1
2
0
−3 0
3
6
= −4
1 3 4
4 1 2
−3 0 3
− 5
2 6 −3
4 1
2
−3 0
3
+ 6
2 6 −3
1 3
4
4 1
2
= −4
−3
3 4
1 2
+ 3
1 3
4 1
− 5
−3
6 −3
1
2
+ 3
2 6
4 1
+ 6
2
3 4
1 2
−
6 −3
1
2
+ 4
6 −3
3
4
= 1437.
Mineurs et cofacteurs sont égaux, au
signe près.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Résultats importants.
Par exemple,on a développé ici les deux
premiers déterminants d’ordre 3 par
rapport à la 3 è ligne, et le dernier
déterminant d’ordre 3 par rapport à la
1 er colonne.
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