2.6 • Développement par rapport à une rangée
51
De même faisons maintenant passer la i ème ligne en dernier :
A i j = (−1)
n− j (−1)
n−i
a 11
. . .
a 1 j−1
a 1 j+1
. . .
a 1n
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a i−1 1 . . . a i−1 j−1 a i−1 j+1 . . . a i−1 n 0
a i+1 1 . . . a i+1 j−1 a i+1 j+1 . . . a i+1 n 0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a n1
. . . a n j−1
a n j+1 . . .
a nn
0
a i1
. . . a i j−1
a i j+1
. . .
a in
1
.
• Considérons une matrice quelconque B = (b uv ) uv de M n,n−1 (K ), et
B
=





b 11
. . .
b 1n−1
0
. . .
. . .
. . .
b n−1 1 . . . b n−1 n−1 0
b n1
. . .
b n n−1
1





∈ M n (K ).
En notant B
= (b
uv ) uv , on a donc :
b
uv =

 
 
b uv si v n − 1
1 siu = v = n
0 sinon.
Par définition : det(B
) =
σ ∈Sn
ε(σ )b
σ (1)1 . . . b
σ (n)n .
Pour tout σ de S n telle que σ (n) = n , on a b
σ (n)n = 0. Comme b
nn = 1 , on a donc :
det(B
) =
σ ∈Sn
σ (n)=n
ε(σ )b
σ (1)1 . . . b
σ (n−1)n−1 .
Il est clair que l'application {σ ∈ S n ; σ (n) = n} −→ S n−1
σ −→ ρ
, où ρ est définie par :
∀ k ∈ {1,. . . ,n − 1}, ρ(k) = σ (k), est une bijection et qu'elle conserve la signature.
D'où :
det(B
) =
ρ∈S n−1
ε(ρ)b
ρ(1)1 . . . b
ρ(n−1)n−1 =
ρ∈S n−1
ε(ρ)b ρ(1)1 . . . b ρ(n−1)n−1 .
• En appliquant ce résultat au déterminant obtenu pour A i j , on arrive à
A i j = (−1)
i+ j
a 11
. . .
a 1 j−1
a 1 j+1
. . .
a 1n
. . .
. . .
. . .
. . .
a i−1 1 . . . a i−1 j−1 a i−1 j+1 . . . a i−1 n
a i+1 1 . . . a i+1 j−1 a i+1 j+1 . . . a i+1 n
. . .
. . .
. . .
. . .
a n1
. . . a n j−1
a n j+1 . . .
a nn
.
3) Enoncé des résultats
Soit n ∈ N
∗ .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
B est rectangulaire.
B contient B en haut à gauche.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
La sommation précédente se réduit aux
termes d’indices σ tels que σ (n) = n.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier