Chapitre 2 • Déterminants
50
Comme S 3 = {Id,τ 12 ,τ 13 ,τ 23 ,c,c
} , où c =
1 2 3
2 3 1
et c
=
1 2 3
3 1 2
, on obtient :
det(A) = a 11 a 22 a 33 − a 21 a 12 a 33 − a 31 a 22 a 13 − a 11 a 32 a 23 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 .
On peut grouper, par exemple, ainsi :
det(A) = a 11 (a 22 a 33 − a 32 a 23 ) + a 21 (−a 12 a 33 + a 32 a 13 ) + a 31 (a 12 a 23 − a 22 a 13 )
= a 11
a 22 a 23
a 32 a 33
− a 21
a 12 a 13
a 32 a 33
+ a 31
a 12 a 13
a 22 a 23
,
et on obtient le développement de det(A) par rapport à la 1 ère colonne.
2) Etude du cas général
• Soit A = (a i j ) i j ∈ M n (K ). Notons B = (e 1 ,. . . ,e n ) la base canonique de M n,1 (K ) :
e 1 =
1
0
0
. . .
0
, e 2
0
1
0
. . .
0
,. . . ,e n
0
0
. . .
0
1
, et C 1 =
a 11
. . .
a n1
,. . . ,C n =
a 1n
. . .
a nn
les colonnes de A .
Soit j ∈ {1,. . . ,n} .
En développant par linéarité par rapport à la j ème colonne, on a :
det(A) = det B
C 1 ,. . . ,C j−1 ,
n
i=1
a i j e i ,C j+1 ,. . . ,C n
=
n
i=1
a i j A i j ,
en notant
A i j = det B (C 1 ,. . . ,C j−1 ,e i ,C j+1 ,. . . ,C n )
=
a 11 . . . a 1 j−1 0 a 1 j+1 . . . a 1n
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
1
. . .
. . .
. . .
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a n1 . . . a n j−1 0 a n j+1 . . . a nn
,
le «1» étant situé à la ligne n ◦ i .
Faisons passer, dans le déterminant ci-dessus, la j ème colonne en dernier, c'est-à-dire permutons les colonnes suivant la permutation
σ =
1 2 . . . j − 1 j j + 1 . . .
n
1 2 . . . j − 1 n
j
. . . n − 1
,
qui admet exactement (n − 1) − j + 1 inversions (et qui est aussi le produit de n − j transpositions du type τ k k+1 ) :
A i j = (−1)
n− j
a 11 . . . a 1 j−1 a 1 j+1 . . . a 1n 0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
1
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a n1 . . . a n j−1 a n j+1 . . . a nn 0
.
τ 12 , τ 13 , τ 23 sont les transpositions.
Le développement de det(A)
comporte 6 (= 3!) termes.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
L’expression de det(A) comporte
maintenant 3 termes dont chacun est le
produit d’un coefficient de A par un
déterminant d’ordre 2.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Autrement dit, pour tout
k ∈ {1,. . . ,n} :
σ (k) =
k
si k < j
n
si k = j
k − 1 si k > j
.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
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Comme S 3 = {Id,τ 12 ,τ 13 ,τ 23 ,c,c
} , où c =
1 2 3
2 3 1
et c
=
1 2 3
3 1 2
, on obtient :
det(A) = a 11 a 22 a 33 − a 21 a 12 a 33 − a 31 a 22 a 13 − a 11 a 32 a 23 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 .
On peut grouper, par exemple, ainsi :
det(A) = a 11 (a 22 a 33 − a 32 a 23 ) + a 21 (−a 12 a 33 + a 32 a 13 ) + a 31 (a 12 a 23 − a 22 a 13 )
= a 11
a 22 a 23
a 32 a 33
− a 21
a 12 a 13
a 32 a 33
+ a 31
a 12 a 13
a 22 a 23
,
et on obtient le développement de det(A) par rapport à la 1 ère colonne.
2) Etude du cas général
• Soit A = (a i j ) i j ∈ M n (K ). Notons B = (e 1 ,. . . ,e n ) la base canonique de M n,1 (K ) :
e 1 =
1
0
0
. . .
0
, e 2
0
1
0
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0
,. . . ,e n
0
0
. . .
0
1
, et C 1 =
a 11
. . .
a n1
,. . . ,C n =
a 1n
. . .
a nn
les colonnes de A .
Soit j ∈ {1,. . . ,n} .
En développant par linéarité par rapport à la j ème colonne, on a :
det(A) = det B
C 1 ,. . . ,C j−1 ,
n
i=1
a i j e i ,C j+1 ,. . . ,C n
=
n
i=1
a i j A i j ,
en notant
A i j = det B (C 1 ,. . . ,C j−1 ,e i ,C j+1 ,. . . ,C n )
=
a 11 . . . a 1 j−1 0 a 1 j+1 . . . a 1n
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0
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1
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0
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a n1 . . . a n j−1 0 a n j+1 . . . a nn
,
le «1» étant situé à la ligne n ◦ i .
Faisons passer, dans le déterminant ci-dessus, la j ème colonne en dernier, c'est-à-dire permutons les colonnes suivant la permutation
σ =
1 2 . . . j − 1 j j + 1 . . .
n
1 2 . . . j − 1 n
j
. . . n − 1
,
qui admet exactement (n − 1) − j + 1 inversions (et qui est aussi le produit de n − j transpositions du type τ k k+1 ) :
A i j = (−1)
n− j
a 11 . . . a 1 j−1 a 1 j+1 . . . a 1n 0
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1
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a n1 . . . a n j−1 a n j+1 . . . a nn 0
.
τ 12 , τ 13 , τ 23 sont les transpositions.
Le développement de det(A)
comporte 6 (= 3!) termes.
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Géométrie
Moni er Algèbre Monier
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Gé
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L’expression de det(A) comporte
maintenant 3 termes dont chacun est le
produit d’un coefficient de A par un
déterminant d’ordre 2.
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ométrie Monier
Autrement dit, pour tout
k ∈ {1,. . . ,n} :
σ (k) =
k
si k < j
n
si k = j
k − 1 si k > j
.
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