2.6 • Développement par rapport à une rangée
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2.6 Développement par rapport à une rangée
2.6.1 Cofacteurs et mineurs
1) Examen du cas n = 3
Soit A = (a i j ) i j =
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
∈ M 3 (K ) .
Par définition (cf. 2.5 Déf. p. 46) :
det(A) =
σ ∈S 3
ε(σ )a σ (1)1 a σ (2)2 a σ (3)3 .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Les méthodes à retenir
Déterminant d’une matrice carrée
• Le remplacement de det(A) par sa définition, det(A) =
σ ∈S n
ε(σ )a σ (1)1 . . . a σ (n)n est peu recommandé, mais peut
s’avérer utile (ex. 2.5.1).
• Lorsque la parité de l’ordre n des matrices carrées intervient, on pourra probablement exploiter la relation
det(−M) = (−1)
n det(M), pour M ∈ M n (K ) (ex. 2.5.2).
• Puisque, pour A,B ∈ M n (K ) , on a det(AB) = det(A) det(B) et qu’il n’y a pas de formule simple pour transformer det(A + B), lorsque des déterminants interviennent, on privilégiera les produits de matrices (ex. 2.5.6,
2.5.7).
2.5.1 Montrer, pour tout A = (a i j ) i j de M n (C) :
|det(A)|
n
j=1
n
i=1
|a i j |
.
2.5.2
a) Soit n ∈ N
∗ . On suppose qu'il existe
A,B ∈ GL n (R) telles que AB + B A = 0 ; montrer que n
est pair.
b) Donner un exemple de (A,B) ∈ (GL 2 (R))
2 tel que
AB + B A = 0 .
2.5.3 Groupe spécial linéaire
On note SL n (K ) = {A ∈ M n (K ); det(A) = 1}.
a) Vérifier que SL n (K ) est un sous-groupe de
GL n (K )pour la multiplication, appelé groupe spécial
linéaire.
b) Montrer :
∀ A ∈ GL n (C), ∃(α,B) ∈ C
∗
× SL n (C), A = α B.
2.5.4 Soit n ∈ N − {0,1}. Trouver toutes les A de M n (C)
telles que :
∀ M ∈ M n (C), det(A + M) = det(A) + det(M).
2.5.5 Soit n ∈ N
∗ .
a) Montrer :
∀ A,B ∈ M n (R),
AB = B A ⇒ det(A
2
+ B
2
) 0
.
b) A-t-on : ∀ A,B ∈ M n (R), det(A
2
+ B
2
) 0 ?
2.5.6 Soient n ∈ N
∗ , A ∈ GL n (R), B ∈ M n (R).
Montrer qu'il existe ε ∈ R
∗
+ tel que :
∀ x ∈ R,
|x| < ε ⇒ A + x B ∈ GL n (R)
.
2.5.7
Soient n ∈ N
∗ , A,B ∈ M n (R) telles que
AB − B A = B.
a) Montrer : ∀ k ∈ N, AB
k
= B
k
(A + kI n ).
b) En déduire : det(B) = 0.
Exercices
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2.6 Développement par rapport à une rangée
2.6.1 Cofacteurs et mineurs
1) Examen du cas n = 3
Soit A = (a i j ) i j =
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
∈ M 3 (K ) .
Par définition (cf. 2.5 Déf. p. 46) :
det(A) =
σ ∈S 3
ε(σ )a σ (1)1 a σ (2)2 a σ (3)3 .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Les méthodes à retenir
Déterminant d’une matrice carrée
• Le remplacement de det(A) par sa définition, det(A) =
σ ∈S n
ε(σ )a σ (1)1 . . . a σ (n)n est peu recommandé, mais peut
s’avérer utile (ex. 2.5.1).
• Lorsque la parité de l’ordre n des matrices carrées intervient, on pourra probablement exploiter la relation
det(−M) = (−1)
n det(M), pour M ∈ M n (K ) (ex. 2.5.2).
• Puisque, pour A,B ∈ M n (K ) , on a det(AB) = det(A) det(B) et qu’il n’y a pas de formule simple pour transformer det(A + B), lorsque des déterminants interviennent, on privilégiera les produits de matrices (ex. 2.5.6,
2.5.7).
2.5.1 Montrer, pour tout A = (a i j ) i j de M n (C) :
|det(A)|
n
j=1
n
i=1
|a i j |
.
2.5.2
a) Soit n ∈ N
∗ . On suppose qu'il existe
A,B ∈ GL n (R) telles que AB + B A = 0 ; montrer que n
est pair.
b) Donner un exemple de (A,B) ∈ (GL 2 (R))
2 tel que
AB + B A = 0 .
2.5.3 Groupe spécial linéaire
On note SL n (K ) = {A ∈ M n (K ); det(A) = 1}.
a) Vérifier que SL n (K ) est un sous-groupe de
GL n (K )pour la multiplication, appelé groupe spécial
linéaire.
b) Montrer :
∀ A ∈ GL n (C), ∃(α,B) ∈ C
∗
× SL n (C), A = α B.
2.5.4 Soit n ∈ N − {0,1}. Trouver toutes les A de M n (C)
telles que :
∀ M ∈ M n (C), det(A + M) = det(A) + det(M).
2.5.5 Soit n ∈ N
∗ .
a) Montrer :
∀ A,B ∈ M n (R),
AB = B A ⇒ det(A
2
+ B
2
) 0
.
b) A-t-on : ∀ A,B ∈ M n (R), det(A
2
+ B
2
) 0 ?
2.5.6 Soient n ∈ N
∗ , A ∈ GL n (R), B ∈ M n (R).
Montrer qu'il existe ε ∈ R
∗
+ tel que :
∀ x ∈ R,
|x| < ε ⇒ A + x B ∈ GL n (R)
.
2.5.7
Soient n ∈ N
∗ , A,B ∈ M n (R) telles que
AB − B A = B.
a) Montrer : ∀ k ∈ N, AB
k
= B
k
(A + kI n ).
b) En déduire : det(B) = 0.
Exercices