Chapitre 2 • Déterminants
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Preuve :
Les propriétés 1) à 5) se déduisent de la Prop. 1 précédente et des propriétés du déterminant d'un endomorphisme (2.4 Prop. 3 p. 46).
En notant A = (a i j ) i j ∈ M n (K ) , on a :
det( t A) =
σ ∈S n
ε(σ )a 1σ(1) . . . a nσ (n) =
σ ∈S n
ε(σ )a σ −1 (σ (1)) σ (1) . . . a σ −1 (σ (n)) σ (n) .
Comme la multiplication est commutative dans K , en réordonnant suivant le deuxième indice, on a, pour
toute σ de S n :
a σ −1 (σ (1)) σ (1) . . . a σ −1 (σ (n)) σ (n) = a σ −1 (1)1 . . . a σ −1 (n)n ,
et donc : det( t A) =
σ ∈S n
ε(σ )a σ −1 (1)1 . . . a σ −1 (n)n .
Enfin, comme S n −→ S n
σ −→ σ
−1
est une bijection conservant la signature (c'est-à-dire :
∀ σ ∈ S n , ε(σ −1 ) = ε(σ )) , on obtient :
det( t A) =
τ ∈S n
ε(τ )a τ (1)1 . . . a τ (n)n = det(A).
᭿
Remarques :
1) De la propriété 3) précédente, on déduit par une récurrence immédiate :
∀ A ∈ M n (K ), ∀ k ∈ N
∗ , det(A
k ) = ( det(A))
k .
2) De la remarque précédente et la propriété 5), on déduit :
∀ A ∈ GL n (K ), ∀ k ∈ Z, det(A
k ) = ( det(A))
k .
3) Si A ∈ M n (K ) est nilpotente, il existe k ∈ N ∗ tel que A k = 0 , d'où :
( det(A))
k = det(A
k ) = 0,
et donc : det(A) = 0.
4) Si A ∈ M n (K ) est antisymétrique et si n est impair, alors :
det(A) = det( t A) = det(−A) = (−1)
n det(A) = − det(A),
d'où : det(A) = 0.
Exercice-type résolu
Utilisation d’un déterminant pour montrer l’inversibilité d’une matrice carrée
Soient n ∈ N
∗ impair, A,B ∈ M n (R) telles que : B
t
(AB) + A = 0. Montrer : A /
∈ GL n (R).
Conseils
det (−A) = (−1) n det (A) et n est impair.
det (B)
2 + 1 > 0.
Solution
D'après l'hypothèse : B
t
(AB) = −A, c'est-à-dire : B
t B
t A = −A.
On déduit, en passant aux déterminants :
det (B)
2 det (A) = (−1)
n det (A) = −det (A).
D'où :
det (B)
2 + 1
det (A) = 0.
Comme det (B) ∈ R, on a
det (B)
2 + 1 = 0, donc det (A) = 0, et on conclut :
A n'est pas inversible, A /
∈ GL n (R).
Exercices 2.5.1 à 2.5.7.
Par exemple, toute matrice antisymétrique d’ordre 3 est non inversible.
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Si une matrice carrée est nilpotente,
alors elle n’est pas inversible.
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On a, pour tout i ∈ {1,. . . ,n} :
i = σ −1 (σ (i)) .
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