2.5 • Déterminant d’une matrice carrée
47
Autrement dit, en notant C 1 =
a 11
. . .
a n1
,. . . ,C n =
a 1n
. . .
a nn
les colonnes de A, et B la base
canonique de M n,1 (K ), on a : det(A) = det B (C 1 ,. . . ,C n ).
On dit que
a 11 . . . a 1n
. . .
. . .
a n1 . . . a nn
est un déterminant d'ordre n.
Pour rappeler l'ordre n, on peut noter [n] en bas à droite : det(A) =
a 11 . . . a 1n
. . .
. . .
a n1 . . . a nn
[n]
.
Exemples :
1) ∀ (a,b,c,d) ∈ K
4
,
a b
c d
= ad − bc , puisque S 2 = {Id {1,2} ,τ 12 } .
2) Soit
Pour σ ∈ S n , s'il existe j ∈ {1,. . . ,n} tel que σ ( j) > j, alors a σ ( j) j = 0 , donc
n
k=1
a σ (k)k = 0. Ceci montre que la somme
σ ∈Sn
ε(σ )a σ (1)1 . . . a σ(n)n se réduit au(x) seul(s)
termes (s) correspondant à σ telle(s) que : ∀ j ∈ {1,. . . ,n}, σ( j) j.
Pour une telle σ, on a σ (1) 1 donc σ (1) = 1, puis σ (2) 2 et σ (2) = σ (1) = 1, donc
σ (2) = 2 . . . Il est clair que, pour tout j de {1,. . . ,n − 1}si (σ (1) = 1,. . . ,σ ( j) = j), alors
σ ( j + 1) = j + 1, puisque σ ( j + 1) j + 1 et σ ( j + 1) ∈ {1,. . . , j}. Ainsi, la seule permutation σ pour laquelle
∀ j ∈ {1,. . . ,n},σ ( j) j
est l'identité, d'où : det(A) =
n
j=1
a j j
(cf.aussi plus loin 2.7.1 Prop. p. 55).
La Proposition suivante est immédiate.
Proposition 1
• Soient E un K-ev de dimension n, f ∈ L(E), B une base de E, A = Mat B ( f ) .
On a :
det( f ) = det(A).
• Soient E un K-ev de dimension n, B une base de E, S = (V 1 ,. . . ,V n ) ∈ E n ,
A = Mat B (S) . On a :
det(A) = det B (S).
Proposition 2
1) det(I n ) = 1.
2) ∀ α ∈ K ,∀ A ∈ M n (K ), det(α A) = α n det(A).
3) ∀ (A,B) ∈ (M n (K ))
2
, det(AB) = det(A)det(B).
4) ∀ A ∈ M n (K ), (A ∈ GL n (K ) ⇐⇒ det(A) = 0).
5) ∀ A ∈ GL n (K ), det(A −1 ) =
det(A)
−1 .
6) ∀ A ∈ M n (K ), det(
t A) = det(A).
A = (a i j ) i j =
a 11 a 12 . . . a 1n
. . .
. . .
. . .
a n−1 n
0
a nn
∈ T n,s K ).
. . .
. . . . . . . . .
(
La formule
a b
c d
= ad − bc est
très utile en pratique.
Déterminant d’une matrice triangulaire.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Lien entre déterminant d’un
endomorphisme et déterminant d’une
matrice carrée.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Lien entre déterminant d’une matrice
carrée et déterminant d’une famille
de n vecteurs dans un K-ev de
dimension n.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
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Gé
ométrie Monier
Attention ! Dans la formule 2), il y a α n ,
dans le second membre, et non pas α.
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Autrement dit, en notant C 1 =
a 11
. . .
a n1
,. . . ,C n =
a 1n
. . .
a nn
les colonnes de A, et B la base
canonique de M n,1 (K ), on a : det(A) = det B (C 1 ,. . . ,C n ).
On dit que
a 11 . . . a 1n
. . .
. . .
a n1 . . . a nn
est un déterminant d'ordre n.
Pour rappeler l'ordre n, on peut noter [n] en bas à droite : det(A) =
a 11 . . . a 1n
. . .
. . .
a n1 . . . a nn
[n]
.
Exemples :
1) ∀ (a,b,c,d) ∈ K
4
,
a b
c d
= ad − bc , puisque S 2 = {Id {1,2} ,τ 12 } .
2) Soit
Pour σ ∈ S n , s'il existe j ∈ {1,. . . ,n} tel que σ ( j) > j, alors a σ ( j) j = 0 , donc
n
k=1
a σ (k)k = 0. Ceci montre que la somme
σ ∈Sn
ε(σ )a σ (1)1 . . . a σ(n)n se réduit au(x) seul(s)
termes (s) correspondant à σ telle(s) que : ∀ j ∈ {1,. . . ,n}, σ( j) j.
Pour une telle σ, on a σ (1) 1 donc σ (1) = 1, puis σ (2) 2 et σ (2) = σ (1) = 1, donc
σ (2) = 2 . . . Il est clair que, pour tout j de {1,. . . ,n − 1}si (σ (1) = 1,. . . ,σ ( j) = j), alors
σ ( j + 1) = j + 1, puisque σ ( j + 1) j + 1 et σ ( j + 1) ∈ {1,. . . , j}. Ainsi, la seule permutation σ pour laquelle
∀ j ∈ {1,. . . ,n},σ ( j) j
est l'identité, d'où : det(A) =
n
j=1
a j j
(cf.aussi plus loin 2.7.1 Prop. p. 55).
La Proposition suivante est immédiate.
Proposition 1
• Soient E un K-ev de dimension n, f ∈ L(E), B une base de E, A = Mat B ( f ) .
On a :
det( f ) = det(A).
• Soient E un K-ev de dimension n, B une base de E, S = (V 1 ,. . . ,V n ) ∈ E n ,
A = Mat B (S) . On a :
det(A) = det B (S).
Proposition 2
1) det(I n ) = 1.
2) ∀ α ∈ K ,∀ A ∈ M n (K ), det(α A) = α n det(A).
3) ∀ (A,B) ∈ (M n (K ))
2
, det(AB) = det(A)det(B).
4) ∀ A ∈ M n (K ), (A ∈ GL n (K ) ⇐⇒ det(A) = 0).
5) ∀ A ∈ GL n (K ), det(A −1 ) =
det(A)
−1 .
6) ∀ A ∈ M n (K ), det(
t A) = det(A).
A = (a i j ) i j =
a 11 a 12 . . . a 1n
. . .
. . .
. . .
a n−1 n
0
a nn
∈ T n,s K ).
. . .
. . . . . . . . .
(
La formule
a b
c d
= ad − bc est
très utile en pratique.
Déterminant d’une matrice triangulaire.
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Lien entre déterminant d’un
endomorphisme et déterminant d’une
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Lien entre déterminant d’une matrice
carrée et déterminant d’une famille
de n vecteurs dans un K-ev de
dimension n.
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Attention ! Dans la formule 2), il y a α n ,
dans le second membre, et non pas α.