Chapitre 2 • Déterminants
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On a ainsi :
∀ f ∈ L(E), ∀ ϕ ∈ Λ n (E), ϕ ◦ ( f × . . . × f ) =
det( f )
ϕ.
La Prop. suivante est immédiate.
Proposition 2
1) ∀ f ∈ L(E),∀ ϕ ∈ Λ n (E),∀ (V 1 ,. . . ,V n ) ∈ E n ,
ϕ
f (V 1 ),. . . , f (V n )
=
det( f )
ϕ(V 1 ,. . . ,V n ).
2) ∀ f ∈ L(E), ∀ B ∈ β(E ), ∀ (V 1 ,. . . ,V n ) ∈ E n ,
det B
f (V 1 ),. . . , f (V n )
= det( f )det B (V 1 ,. . . ,V n ).
3) ∀ f ∈ L(E), ∀ B = (e 1 ,. . . ,e n ) ∈ β(E ),
det( f ) = det (e 1 ,...,e n )
f (e 1 ),. . . , f (e n )
.
Proposition 3
1) det(Id E ) = 1.
2) ∀ α ∈ K , ∀ f ∈ L(E), det(α f ) = α n det( f ).
3) ∀ f,g ∈ L(E), det(g ◦ f ) = det(g)det( f ).
4) ∀ f ∈ L(E), ( f ∈ GL(E) ⇐⇒ det( f ) = 0).
5) ∀ f ∈ GL(E), det( f −1 ) = (det( f )) −1 .
Preuve :
Le K-ev E admet au moins une base B = (e 1 ,. . . ,e n ) .
1) det(Id E ) = det B (B) = 1.
2) det(α f ) = det (e 1 ,...,en ) (α f (e 1 ),. . . ,α f (e n )
= α
n det (e 1 ,...,en )
f (e 1 ),. . . , f (e n )
= α
n det( f )
3) det(g ◦ f ) = det B
g( f (B))
= det(g)det B
f (B)
= det(g)det( f ).
4)
f ∈ GL(E)
⇐⇒
f (B) ∈ β(E)
⇐⇒ det B
f (B)
= 0 ⇐⇒ det( f ) = 0.
5) Soit f ∈ GL(E) . On a : det( f )det( f
−1
) = det( f ◦ f
−1
) = det(Id E ) = 1,
donc det( f
−1
) =
det( f )
−1 .
2.5 Déterminant d'une matrice carrée
Soit n ∈ N
∗ .
Définition
Soit A = (a i j ) 1i, jn ∈ M n (K ) . On appelle déterminant de A , et on note det(A) ,
ou
a 11 . . . a 1n
. . .
. . .
a n1 . . . a nn
, l'élément de K défini par :
det(A) =
σ ∈S n
ε(σ )a σ (1)1 . . . a σ (n)n .
Cette formule constitue la définition de
det( f ).
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Ces formules font le lien entre
déterminant d’un endomorphisme et
déterminant d’une famille de n vecteurs
dans une base.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Attention ! Dans la formule 2),il y a,dans
le second membre, α n et non pas α.
Pour démontrer ces propriétés, on se
ramène à des déterminants de familles
de n vecteurs dans une base d’unK-ev
de dimension n.
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Géométrie
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Gé
ométrie Monier
La notion de déterminant d’une matrice
n’est définie que lorsque cette matrice est
carrée.
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On a ainsi :
∀ f ∈ L(E), ∀ ϕ ∈ Λ n (E), ϕ ◦ ( f × . . . × f ) =
det( f )
ϕ.
La Prop. suivante est immédiate.
Proposition 2
1) ∀ f ∈ L(E),∀ ϕ ∈ Λ n (E),∀ (V 1 ,. . . ,V n ) ∈ E n ,
ϕ
f (V 1 ),. . . , f (V n )
=
det( f )
ϕ(V 1 ,. . . ,V n ).
2) ∀ f ∈ L(E), ∀ B ∈ β(E ), ∀ (V 1 ,. . . ,V n ) ∈ E n ,
det B
f (V 1 ),. . . , f (V n )
= det( f )det B (V 1 ,. . . ,V n ).
3) ∀ f ∈ L(E), ∀ B = (e 1 ,. . . ,e n ) ∈ β(E ),
det( f ) = det (e 1 ,...,e n )
f (e 1 ),. . . , f (e n )
.
Proposition 3
1) det(Id E ) = 1.
2) ∀ α ∈ K , ∀ f ∈ L(E), det(α f ) = α n det( f ).
3) ∀ f,g ∈ L(E), det(g ◦ f ) = det(g)det( f ).
4) ∀ f ∈ L(E), ( f ∈ GL(E) ⇐⇒ det( f ) = 0).
5) ∀ f ∈ GL(E), det( f −1 ) = (det( f )) −1 .
Preuve :
Le K-ev E admet au moins une base B = (e 1 ,. . . ,e n ) .
1) det(Id E ) = det B (B) = 1.
2) det(α f ) = det (e 1 ,...,en ) (α f (e 1 ),. . . ,α f (e n )
= α
n det (e 1 ,...,en )
f (e 1 ),. . . , f (e n )
= α
n det( f )
3) det(g ◦ f ) = det B
g( f (B))
= det(g)det B
f (B)
= det(g)det( f ).
4)
f ∈ GL(E)
⇐⇒
f (B) ∈ β(E)
⇐⇒ det B
f (B)
= 0 ⇐⇒ det( f ) = 0.
5) Soit f ∈ GL(E) . On a : det( f )det( f
−1
) = det( f ◦ f
−1
) = det(Id E ) = 1,
donc det( f
−1
) =
det( f )
−1 .
2.5 Déterminant d'une matrice carrée
Soit n ∈ N
∗ .
Définition
Soit A = (a i j ) 1i, jn ∈ M n (K ) . On appelle déterminant de A , et on note det(A) ,
ou
a 11 . . . a 1n
. . .
. . .
a n1 . . . a nn
, l'élément de K défini par :
det(A) =
σ ∈S n
ε(σ )a σ (1)1 . . . a σ (n)n .
Cette formule constitue la définition de
det( f ).
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Ces formules font le lien entre
déterminant d’un endomorphisme et
déterminant d’une famille de n vecteurs
dans une base.
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Attention ! Dans la formule 2),il y a,dans
le second membre, α n et non pas α.
Pour démontrer ces propriétés, on se
ramène à des déterminants de familles
de n vecteurs dans une base d’unK-ev
de dimension n.
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n’est définie que lorsque cette matrice est
carrée.