2.4 • Déterminant d’un endomorphisme
45
Preuve :
Soient ϕ ∈ Λ n (E),B ∈ β(E). Puisque det B engendre Λ n (E), il existe α ∈ K tel que ϕ = αdet B . En
particulier : ϕ(B) = αdet B (B) = α, d'où : ϕ = ϕ(B)det B , c'est-à-dire :
∀ S ∈ E
n , ϕ(S) = ϕ(B)det B (S).
Corollaire
∀ B,B ∈ β(E ), ∀ S ∈ E n , det B (S) = det B (B)det B (S).
Preuve
Il suffit d'appliquer la Prop. précédente à ϕ = det B .
Remarques :
1) On retient la formule ci-dessus en remarquant l'analogie avec la relation de Chasles
(
−→
B
S =
−→
B
B +
− →
BS) ou le calcul sur fractions
s
b =
b
b ·
s
b
.
2) ∀ B,B
,B
∈ β(E), det B (B) = det B (B
)det B (B) .
3) En particulier, en prenant B
= B dans le résultat précédent :
∀ B,B
∈ β(E),
det B (B) = 0 et det B (B
) = (det B (B))
−1
.
Proposition 2
Soient B ∈ β(E ), S ∈ E
n .
Alors S est liée si et seulement si det B (S) = 0.
Preuve
1) Si S est liée, alors det B (S) = 0 , puisque det B est n -linéaire et alternée (cf. 2.2.2 Prop. 2 p. 42).
2) Si S est libre, alors, comme, S a n éléments, S est une base de E , et donc (cf. Rem. 3) ci-dessus) :
det B (S) = 0.
2.4 Déterminant d'un endomorphisme
Soient n ∈ N
∗
, E un K-ev de dimension n. Soient f ∈ L(E) , ϕ ∈ Λ n (E) − {0}.
Il est clair que l'application ϕ ◦ ( f × . . . × f ) : E
n
−→ K définie par :
∀ (V 1 ,. . . ,V n ) ∈ E
n ,
ϕ ◦ ( f × . . . × f )
(V 1 ,. . . ,V n ) = ϕ
f (V 1 ),. . . , f (V n )
est n-linéaire et alternée.
Puisque Λ n (E) est de dimension 1 et que ϕ = 0 , ϕ engendre Λ n (E), et il existe donc
tel que : ϕ ◦ ( f × . . . × f ) = αϕ . Montrons que α ne dépend pas de ϕ .
Soit ψ ∈ Λ n (E) − {0} . Puisque ϕ engendre Λ n (E), il existe λ ∈ K − {0} tel que ψ = λϕ. On a
alors :
ψ◦( f ×. . .× f ) = (λϕ)◦( f ×. . .× f ) = λ
ϕ ◦( f ×. . .× f )
= λ(αϕ) = α(λϕ) = αψ.
Ceci montre que α ne dépend pas du choix de ϕ dans Λ n (E) − {0}.
Résumons l'étude :
Proposition - Définition 1
Pour tout f de L(E) , il existe un élément unique α de K tel que :
∀ ϕ ∈ Λ n (E), ϕ ◦ ( f × . . . × f ) = αϕ.
Cet élément α est appelé le déterminant de f, et noté det( f ) .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Dans cette formule, B et B sont des
bases de E , et S est une famille
(quelconque) de n éléments de E.
Proposition très importante.
L’application f × . . . × f est aussi
abusivement notée f, de sorte que,
pour tout S = (V 1 ,. . . ,V n ) ∈ E n :
f (S) = ( f (V 1 ),. . . , f (V n ))
= ( f × . . . × f )(V 1 ,. . . ,V n ) .
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
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Preuve :
Soient ϕ ∈ Λ n (E),B ∈ β(E). Puisque det B engendre Λ n (E), il existe α ∈ K tel que ϕ = αdet B . En
particulier : ϕ(B) = αdet B (B) = α, d'où : ϕ = ϕ(B)det B , c'est-à-dire :
∀ S ∈ E
n , ϕ(S) = ϕ(B)det B (S).
Corollaire
∀ B,B ∈ β(E ), ∀ S ∈ E n , det B (S) = det B (B)det B (S).
Preuve
Il suffit d'appliquer la Prop. précédente à ϕ = det B .
Remarques :
1) On retient la formule ci-dessus en remarquant l'analogie avec la relation de Chasles
(
−→
B
S =
−→
B
B +
− →
BS) ou le calcul sur fractions
s
b =
b
b ·
s
b
.
2) ∀ B,B
,B
∈ β(E), det B (B) = det B (B
)det B (B) .
3) En particulier, en prenant B
= B dans le résultat précédent :
∀ B,B
∈ β(E),
det B (B) = 0 et det B (B
) = (det B (B))
−1
.
Proposition 2
Soient B ∈ β(E ), S ∈ E
n .
Alors S est liée si et seulement si det B (S) = 0.
Preuve
1) Si S est liée, alors det B (S) = 0 , puisque det B est n -linéaire et alternée (cf. 2.2.2 Prop. 2 p. 42).
2) Si S est libre, alors, comme, S a n éléments, S est une base de E , et donc (cf. Rem. 3) ci-dessus) :
det B (S) = 0.
2.4 Déterminant d'un endomorphisme
Soient n ∈ N
∗
, E un K-ev de dimension n. Soient f ∈ L(E) , ϕ ∈ Λ n (E) − {0}.
Il est clair que l'application ϕ ◦ ( f × . . . × f ) : E
n
−→ K définie par :
∀ (V 1 ,. . . ,V n ) ∈ E
n ,
ϕ ◦ ( f × . . . × f )
(V 1 ,. . . ,V n ) = ϕ
f (V 1 ),. . . , f (V n )
est n-linéaire et alternée.
Puisque Λ n (E) est de dimension 1 et que ϕ = 0 , ϕ engendre Λ n (E), et il existe donc
tel que : ϕ ◦ ( f × . . . × f ) = αϕ . Montrons que α ne dépend pas de ϕ .
Soit ψ ∈ Λ n (E) − {0} . Puisque ϕ engendre Λ n (E), il existe λ ∈ K − {0} tel que ψ = λϕ. On a
alors :
ψ◦( f ×. . .× f ) = (λϕ)◦( f ×. . .× f ) = λ
ϕ ◦( f ×. . .× f )
= λ(αϕ) = α(λϕ) = αψ.
Ceci montre que α ne dépend pas du choix de ϕ dans Λ n (E) − {0}.
Résumons l'étude :
Proposition - Définition 1
Pour tout f de L(E) , il existe un élément unique α de K tel que :
∀ ϕ ∈ Λ n (E), ϕ ◦ ( f × . . . × f ) = αϕ.
Cet élément α est appelé le déterminant de f, et noté det( f ) .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Dans cette formule, B et B sont des
bases de E , et S est une famille
(quelconque) de n éléments de E.
Proposition très importante.
L’application f × . . . × f est aussi
abusivement notée f, de sorte que,
pour tout S = (V 1 ,. . . ,V n ) ∈ E n :
f (S) = ( f (V 1 ),. . . , f (V n ))
= ( f × . . . × f )(V 1 ,. . . ,V n ) .
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