Chapitre 2 • Déterminants
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• ψ est alternée car, pour tout (i, j) de {1,. . . ,n}
2 tel que i < j et tout (V 1 ,. . . ,V n ) de E
n tel que
V i = V j , on a, en effectuant le changement d'indice σ
= σ ◦ τ i j dans la sommation :
ψ(V 1 ,. . . ,V n ) = λ
σ ∈Sn
ε(σ )a σ (1)1 . . . a σ (n)n
= λ
σ ∈Sn
−ε(σ
)a σ (1)1 . . . a σ ( j)i . . . a σ (i) j . . . a σ (n)n
= −λ
σ ∈Sn
ε(σ
)a σ (1)1 . . . a σ (i)i . . . a σ ( j) j . . . a σ (n)n ,
puisque V i = V j .
D'où ψ(V 1 ,. . . ,V n ) = −ψ(V 1 ,. . . ,V n ), 2ψ(V 1 ,. . . ,V n ) = 0 , ψ(V 1 ,. . . ,V n ) = 0 .
• Montrons ψ = 0.
Pour chaque j de {1,. . . ,n}, la décomposition de e j sur la base B est : e j =
n
ij =1
δ ij j e ij , où δ ij j
est le symbole de Kronecker. D'où : ψ(B) =
σ ∈Sn
ε(σ )δ σ (1)1 . . . δ σ (n)n = 1,
car, si σ = Id {1,...,n} , l'un des facteurs δ σ ( j) j (1 j n) est nul.
Résumons l'étude :
Théorème - Définition
L'ensemble Λ n (E) des formes n-linéaires alternées sur un K-ev de dimension n
(n 1) est un K-ev de dimension 1.
Pour toute base B = (e 1 ,. . . ,e n ) de E, on note det B : E n −→ K l'application définie par, pour tout (V 1 ,. . . ,V n ) de E n :
det B (V 1 ,. . . ,V n ) =
σ ∈S n
ε(σ )a σ (1)1 . . . a σ (n)n ,
où, pour chaque j de {1,. . . ,n}, (a i j j ) 1i j n sont les composantes de V j dans B:
V j =
n
i j =1
a i j j e i j .
L'élément det B (V 1 ,. . . ,V n ) (de K) est appelé le déterminant de (V 1 ,. . . ,V n ) dans
la base B.
Pour toute base B de E, (det B ) est une base de Λ n (E).
Autrement dit, pour toute base B de E , les éléments de Λ n (E) sont proportionnels à det B .
Remarque : On a vu plus haut que, pour toute base B de E : det B (B) = 1.
2.3.2 Propriétés
On note ici β(E) l'ensemble des bases de E .
Proposition 1
∀ ϕ ∈ Λ n (K ), ∀ S ∈ E n , ∀ B ∈ β(E ), ϕ(S) = ϕ(B)det B (S).
ε(σ
) = ε(σ ◦ τ i j )
= ε(σ )ε(τ i j ) = −ε(σ ).
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Autrement dit :dim(( n (E)) = 1.
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(detB) désigne la famille à un seul
élément qui est l’élément det B ; det B
est une forme n-linéaire alternée sur E.
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Autrement dit, pour toute base B de
E et toute forme n-linéaire alternée
ϕ sur E, on a :
ϕ = ϕ(B) det B ,
c’est-à-dire que ϕ et det B sont
proportionnelles, dans le rapport
ϕ(B).
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