2.3 • Déterminant d’une famille de n vecteurs dans une base d’un ev de dimension n
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2.3 Déterminant d'une famille
de n vecteurs dans une base
d'un ev de dimension n
Soient n ∈ N
∗ , E un K-ev de dimension n.
2.3.1 Espace n (E)
Le lecteur peut admettre cette étude et passer directement à l’énoncé du Théorème-Définition p. 44.
Soit B = (e 1 ,. . . ,e n ) une base de E .
1) Soient S = (V 1 ,. . . ,V n ) ∈ E
n et, pour chaque j de {1,. . . ,n},
a ij j
ij ∈{1,...,n}
∈ K
n tel que :
V j =
n
ij =1
a ij j e ij .
Soit ϕ : E
n
−→ K une forme n-linéaire alternée.
Nous allons calculer ϕ(S) en fonction des a ij j . On a :
ϕ(S) = ϕ
n
i 1 =1
a i 1 1 e i 1 ,. . . ,
n
in =1
a in n e in
=
n
i 1 =1
a i 1 1 ϕ
e i 1 ,
n
i 2 =1
a i 2 2 e i 2 ,. . . ,
n
in =1
a in n e in
= . . . =
n
i 1 =1
. . .
n
in =1
a i 1 1 . . . a in n ϕ(e i 1 ,. . . ,e in )
=
(i 1 ,...,in )∈{1,...,n} n
a i 1 1 . . . a in n ϕ(e i 1 ,. . . ,e in ).
Comme ϕ est alternée, ϕ(e i 1 ,. . . ,e in ) est nul dès que i 1 ,. . . ,i n ne sont pas deux à deux distincts.
Il ne reste donc, dans la somme multiple précédente, que les termes correspondant aux cas où
(1,. . . ,n) −→ (i 1 ,. . . ,i n ) est une permutation de {1,. . . ,n}.
D'où :
ϕ(S) =
σ ∈Sn
a σ (1)1 . . . a σ (n)n ϕ(e σ (1) ,. . . ,e σ (n) )
=
σ ∈Sn
a σ (1)1 . . . a σ (n)n ε(σ )ϕ(e 1 ,. . . ,e n )
=


σ ∈Sn
ε(σ )a σ (1)1 . . . a σ (n)n

 ϕ(e 1 ,. . . ,e n ).
2) Réciproquement, soient λ ∈ K et ψ : E
n
−→ K l'application définie par, pour tout
S = (V 1 ,. . . ,V n ) de E
n : ψ(S) = λ
σ ∈Sn
ε(σ )a σ (1)1 . . . a σ (n)n ,
où les a ij j sont les composantes des V j dans B : ∀ j ∈ {1,. . . ,n}, V j =
n
ij =1
a ij j e ij .
• ψ est n-linéaire car, pour tous i de {1,. . . ,n}, α de K, V 1 ,. . . ,V i−1 ,V i ,V
i ,V i+1 , . . . ,V n de E ,
on a, en notant (a
ki ) 1kn les composantes de V
i dans B :
ψ(V 1 ,. . . ,αV i + V
i ,. . . ,V n ) = λ
σ ∈Sn
ε(σ )a σ (1)1 . . . (αa σ (i)i + a
σ (i)i ) . . . a σ (n)n
= αλ
σ ∈Sn
ε(σ )a σ (1)1 . . . a σ (n)n + λ
σ ∈Sn
ε(σ )a σ (1)1 . . . a
σ (i)i . . . a σ (n)n
= αψ(V 1 ,. . . ,V i ,. . . ,V n ) + ψ(V 1 ,. . . ,V
i ,. . . ,V n ).
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Il y a ici une double indexation.
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Chaque V j se décompose sur B.
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Cf. § 2.2.2 Prop. 1.
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Linéarité de ϕ par rapport à la 1 ère place.
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Si (1,. . . ,n) → (i 1 ,. . . ,i n ) n’est
pas une permutation de {1,. . . ,n} ,
alors (e i 1 ,. . . ,e in ) contient une
répétition,donc ϕ(e i 1 ,. . . ,e in ) = 0.
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