Chapitre 2 • Déterminants
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Proposition 1
Une application p-linéaire ϕ : E
p
−→ F est alternée si et seulement si:
∀ σ ∈ S p , ∀ (x 1 ,. . . ,x p ) ∈ E
p
, ϕ
x σ (1) ,. . . ,x σ (p)
= ε(σ )ϕ(x 1 ,. . . ,x p ).
Preuve
1) Cas d'une transposition
Soit (i, j) ∈ {1,. . . ,p}
2 tel que i < j; notons τ i j la transposition qui échange i et j et laisse les autres
éléments de {1,. . . ,p} fixes.
Puisque ϕ est alternée, on a :
ϕ(x 1 ,. . . ,x i−1 ,x i + x j ,x i+1 ,. . . ,x j−1 ,x i + x j ,x j+1 ,. . . ,x p ) = 0,
d'où en développant par multilinéarité :
ϕ(x 1 ,. . . ,x i ,. . . ,x i ,. . . x p ) + ϕ(x 1 ,. . . ,x i ,. . . ,x j ,. . . ,x p ) + ϕ(x 1 ,. . . ,x j ,. . . ,x i ,. . . ,x p )
+ ϕ(x 1 ,. . . ,x j ,. . . ,x j ,. . . ,x p ) = 0,
et donc ϕ(x 1 ,. . . ,x j ,. . . ,x i ,. . . ,x p ) = −ϕ(x 1 ,. . . ,x i ,. . . ,x j ,. . . ,x p ).
Ceci montre : ϕ
x τij(1) ,. . . ,x τij(p)
= ε(τ i j )ϕ(x 1 ,. . . ,x p ) .
2) Cas général
Soit σ ∈ S p . D'après 2.1.2 Th.1 p. 36, σ est décomposable en un produit de transpositions ; il existe
N ∈ N
∗ et des transpositions σ 1 ,. . . ,σ N telles que σ = σ 1 ◦ . . . ◦ σ N ; de plus, ε(σ ) = (−1)
N .
En appliquant de façon itérée le résultat de 1), on obtient :
ϕ(x σ (1) ,. . . ,x σ (p) ) = −ϕ(x σ 2 ◦...◦σN (1) ,. . . ,ϕ σ 2 ◦...◦σN ( p) )
= . . . = (−1)
N ϕ(x 1 ,. . . ,x p ) = ε(σ )ϕ(x 1 ,. . . ,x p ).
᭿
Proposition 2
Soient ϕ : E p −→ F une application p-linéaire et alternée, et (x 1 ,. . . ,x p ) ∈ E p . Si
(x 1 ,. . . ,x p ) est liée, alors ϕ(x 1 ,. . . ,x p ) = 0 .
Preuve
Supposons (x 1 ,. . . ,x p ) liée ; l'un au moins des x 1 ,. . . ,x p s'exprime donc comme combinaison linéaire
des autres. D'après la Prop. précédente, on peut se ramener au cas où il existe (α 1 ,. . . ,α p−1 ) ∈ K
p−1 tel
que x p =
p−1
i=1
α i x i . Alors :
ϕ(x 1 ,. . . ,x p ) =
p−1
i=1
α i ϕ(x 1 ,. . . ,x p−1 ,x i ) = 0,
puisque chaque p-uplet (x 1 ,. . . ,x p−1 ,x i ) comporte une répétition.
᭿
Corollaire
Si p > dim(E), alors la seule application p -linéaire et alternée
de E p dans F est l'application nulle.
Preuve :
Toute famille de p éléments de E est liée.
᭿
Rappel de notations : S p est le
groupe symétrique d'indice p,formé des
permutations de {1,. . . , p}, et pour
toute σ de S p , ε(σ ) désigne la
signature de σ.
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Dans la suite du cours,nous n’étudions
que le cas p = dim(E).
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En permutant x 1 ,. . . ,x p ,on remplace
ϕ(x 1 ,. . . ,x p ) par lui-même ou son
opposé ;on peut donc se ramener au cas
où x p se décompose linéairement sur
x 1 ,. . . ,x p−1 .
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Tout transposition est de signature égale
à – 1 : ε(τ i j ) = −1 .
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L’élément x i + x j est répété aux places
n° s i et j.
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