2.2 • Applications multilinéaires
41
Dans toute la suite de ce chapitre 2, K désigne R ou C .
2.2 Applications multilinéaires
2.2.1 Généralités
Définition
Soient p ∈ N ∗ , E 1 ,. . . ,E p ,F des K-ev.
Une application ϕ : E 1 × . . . × E p −→ F est dite p-linéaire (ou : multilinéaire) si
et seulement si ϕ est linéaire par rapport à chaque place (ou : variable), c'est-à-dire :
∀ i ∈ {1,. . . ,p}, ∀λ ∈ K , ∀x 1 ∈ E 1 ,. . . , ∀ x i ∈ E i ,∀ y i ∈ E i ,. . . , ∀ x p ∈ E p ,
ϕ(x 1 ,. . . ,x i−1 ,λx i + y i ,x i+1 ,. . . ,x p )
= λϕ(x 1 ,. . . ,x i ,. . . ,x p ) + ϕ(x 1 ,. . . ,y i ,. . . ,x p ).
Si de plus F = K , on dit que ϕ est une forme p-linéaire.
Exemples
1) Pour p = 1 , la notion d'application 1-linéaire coïncide avec celle d'application linéaire.
2) L'application nulle est p -linéaire.
3) Le produit scalaire canonique sur R 2 , ϕ :
R 2 × R 2 −→ R
((x 1 ,x 2 ),(y 1 ,y 2 )) −→ x 1 y 1 + x 2 y 2
est une
forme 2-linéaire (on dit plutôt : bilinéaire).
4) Le produit vectoriel dans R 3 : φ : R 3 × R 3 −→ R 3 , défini par :
φ((x 1 ,x 2 ,x 3 ),(y 1 ,y 2 ,y 3 )) = (x 2 y 3 − x 3 y 2 , x 3 y 1 − x 1 y 3 , x 1 y 2 − x 2 y 1 )
est une application bilinéaire.
Proposition
L'ensemble L p (E 1 ,. . . ,E p ; F) des applications p-linéaires de E 1 × . . . × E p dans
F est un K-ev.
Preuve
Il est clair que L p (E 1 ,. . . ,E p ; F) est un sev de F E 1 ×...×E p .
2.2.2 Applications multilinéaires alternées
Soient E un K-ev, et p ∈ N
∗ .
Définition
Une application p-linéaire ϕ : E p −→ F est dite alternée si et seulement si, pour
tout couple (i, j) de {1,. . . , p}
2 tel que i = j, et pour tout (x 1 ,. . . ,x p ) de E p :
x i = x j ⇒ ϕ(x 1 ,. . . ,x p ) = 0.
Si de plus F = K , on dit que ϕ est une forme p-linéaire alternée.
Remarque :
L'ensemble des applications p-linéaires alternées de E
p dans F est un sev de
L p (E,. . . ,E; F).
Autrement dit, ϕ est alternée si et
seulement si ϕ(x 1 ,. . . ,x p ) est nul
pour tout p-uplet (x 1 ,. . . ,x p )
comportant au moins une répétition.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Rappel de notation : F E 1 ×...×Ep
désigne l’ensemble de toute les
applications de E 1 × . . . × E p dans
F, et c’ est un K-ev.
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41
Dans toute la suite de ce chapitre 2, K désigne R ou C .
2.2 Applications multilinéaires
2.2.1 Généralités
Définition
Soient p ∈ N ∗ , E 1 ,. . . ,E p ,F des K-ev.
Une application ϕ : E 1 × . . . × E p −→ F est dite p-linéaire (ou : multilinéaire) si
et seulement si ϕ est linéaire par rapport à chaque place (ou : variable), c'est-à-dire :
∀ i ∈ {1,. . . ,p}, ∀λ ∈ K , ∀x 1 ∈ E 1 ,. . . , ∀ x i ∈ E i ,∀ y i ∈ E i ,. . . , ∀ x p ∈ E p ,
ϕ(x 1 ,. . . ,x i−1 ,λx i + y i ,x i+1 ,. . . ,x p )
= λϕ(x 1 ,. . . ,x i ,. . . ,x p ) + ϕ(x 1 ,. . . ,y i ,. . . ,x p ).
Si de plus F = K , on dit que ϕ est une forme p-linéaire.
Exemples
1) Pour p = 1 , la notion d'application 1-linéaire coïncide avec celle d'application linéaire.
2) L'application nulle est p -linéaire.
3) Le produit scalaire canonique sur R 2 , ϕ :
R 2 × R 2 −→ R
((x 1 ,x 2 ),(y 1 ,y 2 )) −→ x 1 y 1 + x 2 y 2
est une
forme 2-linéaire (on dit plutôt : bilinéaire).
4) Le produit vectoriel dans R 3 : φ : R 3 × R 3 −→ R 3 , défini par :
φ((x 1 ,x 2 ,x 3 ),(y 1 ,y 2 ,y 3 )) = (x 2 y 3 − x 3 y 2 , x 3 y 1 − x 1 y 3 , x 1 y 2 − x 2 y 1 )
est une application bilinéaire.
Proposition
L'ensemble L p (E 1 ,. . . ,E p ; F) des applications p-linéaires de E 1 × . . . × E p dans
F est un K-ev.
Preuve
Il est clair que L p (E 1 ,. . . ,E p ; F) est un sev de F E 1 ×...×E p .
2.2.2 Applications multilinéaires alternées
Soient E un K-ev, et p ∈ N
∗ .
Définition
Une application p-linéaire ϕ : E p −→ F est dite alternée si et seulement si, pour
tout couple (i, j) de {1,. . . , p}
2 tel que i = j, et pour tout (x 1 ,. . . ,x p ) de E p :
x i = x j ⇒ ϕ(x 1 ,. . . ,x p ) = 0.
Si de plus F = K , on dit que ϕ est une forme p-linéaire alternée.
Remarque :
L'ensemble des applications p-linéaires alternées de E
p dans F est un sev de
L p (E,. . . ,E; F).
Autrement dit, ϕ est alternée si et
seulement si ϕ(x 1 ,. . . ,x p ) est nul
pour tout p-uplet (x 1 ,. . . ,x p )
comportant au moins une répétition.
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Rappel de notation : F E 1 ×...×Ep
désigne l’ensemble de toute les
applications de E 1 × . . . × E p dans
F, et c’ est un K-ev.
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