Chapitre 2 • Déterminants
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Exemple :
1 2 3 4 5
1 5 2 4 3
est le 3-cycle (2, 5, 3).
Remarques :
1) (x 1 ,. . . ,x p ) = (x 2 ,. . . ,x p ,x 1 ) = . . . = (x p ,x 1 ,. . . ,x p−1 ) .
2) Les 2-cycles sont les transpositions.
3) e n'est pas un cycle.
Les 3-cycles (2,5,3) et (5,3,2) sont égaux.
En revanche les 3-cycles (2, 5, 3)
et (2, 3, 5) sont différents.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercices 2.1.4, 2.1.5.
Les méthodes à retenir
Le groupe symétrique
• Pour calculer la signature ε(σ ) d’une permutation σ de {1,. . . ,n} (ex. 2.1.2 à 2.1.4), on peut soit calculer le
nombre I(σ ) d’inversions et on a alors ε(σ ) = (−1)
I(σ ) , soit décomposer σ en un produit de N transpositions et
on a alors ε(σ ) = (−1) N .
2.1.1 Montrer que S n est non commutatif dès que n 3 .
2.1.2
Pour n ∈ N
∗ , déterminer la signature de
σ : {1,. . . ,n} −→ {1,. . . ,n}
i −→ n + 1 − i
.
2.1.3
Pour n ∈ N
∗ , déterminer la signature de
σ =
1 2 3 . . . n
n+ 1 n + 2 . . .
2n
2 4 6 . . . 2n
1
3
. . . 2n − 1
.
2.1.4 Soit
σ =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
7 1 5 12 6 3 9 4 2 11 8 10
.
a) Déterminer le nombre d'inversions et la parité de σ .
b) Décomposer σ (d'au moins une façon) en un produit de
transpositions.
c) Décomposer σ en un produit de cycles à supports disjoints. Retrouver ainsi la valeur de ε(σ ).
2.1.5 Soit n ∈ N tel que n 3.
a) Vérifier, pour tout couple (i, j) de {1,. . . ,n} 2 tel que
2 i < j n :
τ i j = τ 1i ◦ τ 1 j ◦ τ 1i .
En déduire que {τ 1i ; 2 i n} engendre le groupe S n .
b) Vérifier, pour tout couple (i, j) de {2,. . . ,n} 2 tel que
i = j : (1,i, j) = τ 1 j ◦ τ 1i .
En déduire que {(1,i, j); (i, j) ∈ {2,. . . ,n} 2 ,i = j}
engendre le sous-groupe A n .
c) Vérifier, pour tout k ∈ de {3,. . . ,n} :
τ 1k ◦ τ 12 = γ k et τ 12 ◦ τ 1k = γ
2
k , où γ k = (1,2,k).
En déduire, pour tout (i, j) de {3,. . . ,n} 2 :
τ 1i ◦ τ 1 j = γ i ◦ γ 2
j .
En déduire que {(1,2,i); 3 i n} engendre le sousgroupe A n .
Exercices