2.1 • Le groupe symétrique
39
Exemple :
Pour n = 3, S 3 = {e,τ 1, 2 ,τ 1, 3 ,τ 2, 3 ,c,c
}
où c =
1 2 3
2 3 1
et c
=
1 2 3
3 1 2
= c
2 , et A 3 = {e,c,c
}
◦
e
c
c
τ 12
τ 13
τ 23
e
e
c
c
τ 12
τ 13
τ 23
c
c
c
e
τ 13
τ 23
τ 12
c
c
e
c
τ 23
τ 12
τ 13
τ 12
τ 12
τ 23
τ 13
e
c
c
τ 13
τ 13
τ 12
τ 23
c
e
c
τ 23
τ 23
τ 13
τ 12
c
c
e
Proposition 3
Toute transposition de {1,. . . ,n} est impaire.
Preuve
Soit (i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 tel que i < j. Puisque
τ i, j =


1 . . . i − 1 i
i+ 1 . . . j − 1
j j + 1 . . . n
1 . . . i − 1 j
i+ 1 . . . j − 1
i j + 1 . . . n

 ,
. . .
.
.
.
les couples présentant une inversion (sur la 2 ème ligne) sont :
( j,i + 1), ( j,i + 2),. . . ,( j, j − 1), ( j,i) (i + 1,i), (i + 2,i),. . . ,( j − 1,i),
qui sont au nombre de 2( j − i) − 1.
Donc I(τ i, j ) est impair, ε(τ i, j ) = −1, τ i, j est impaire.
᭿
Corollaire
Soient σ ∈ S n , N ∈ N ∗ , t 1 ,. . . ,t N des transpositions de {1,. . . ,n} telles que
σ = t 1 ◦ . . . ◦ t N . On a : ε(σ ) = (−1)
N .
2.1.3 Cycles
On suppose ici n 2 .
Définition
Soit p ∈ N tel que 2 p n . On appelle p-cycle de {1,. . . ,n} toute permutation σ
de {1,. . . ,n} telle qu'il existe x 1 ,. . . ,x p ∈ {1,. . . ,n}, deux à deux distincts, tels que :
σ (x 1 ) = x 2 , σ (x 2 ) = x 3 ,. . . ,σ (x p−1 ) = x p , σ (x p ) = x 1
∀k ∈ {1,. . . ,n} − {x 1 ,. . . ,x p },σ (k) = k.
L'ensemble {x 1 ,. . . ,x p } (qui est à l'évidence unique pour un p-cycle σ donné) est
appelé le support de σ, et on note σ = (x 1 ,. . . ,x p ).
Une permutation σ de {1,. . . ,n} est appelée cycle si et seulement s'il existe
p ∈ {2,. . . ,n} tel que σ soit un p-cycle.
Table de la loi ◦ dans S 3 , mettant en
évidence le sous-groupe A 3 .
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Mais, lorsque n 4, il existe des
permutations impaires qui ne sont pas
des transpositions.
Ainsi, une permutation paire (resp.
impaire) ne peut être décomposée qu'en
un produit d'un nombre pair (resp.
impair) de transpositions.
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Géométrie
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Gé
ométrie Monier
Ainsi, un p-cycle permute « circulairement » p éléments et laisse les
autres inchangés.
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