Chapitre 2 • Déterminants
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Proposition 1
Pour toute σ de S n : ε(σ ) =
{i, j}∈P 2 (n)
σ ( j) − σ (i)
j − i
, où P 2 (n) désigne l'ensemble
des paires de {1,. . . ,n}.
Preuve
1) Puisque σ est une permutation de {1,. . . ,n} l'application σ 2 : P 2 (n) −→ P 2 (n)
{i, j} } −→ {σ (i),σ ( j)}
est une permutation de P 2 (n), et donc :
{i, j}∈P 2 (n)
|σ ( j) − σ (i)| =
{i, j}∈P 2 (n)
| j − i|,
ce qui montre :
{i, j}∈P 2 (n)
σ ( j) − σ (i)
j − i
= 1 .
2) Le nombre de paires {i, j} de {1,. . . ,n} telles que
σ ( j) − σ (i)
j − i
< 0 est I(σ ), donc
{i, j}∈P 2 (n)
σ ( j) − σ (i)
j − i
est du même signe que ε(σ ).
Remarque :
On a aussi : ε(σ ) =
1i< jn
σ ( j) − σ (i)
j − i
.
Théorème 2
L'application signature ε : S n −→ {−1,1} est un morphisme du groupe (S n ,◦) sur
le groupe multiplicatif {−1,1}.
Preuve
Soient ρ,σ ∈ S n . On a :
ε(σ ◦ ρ) =
{i, j}∈P 2 (n)
(σ ◦ ρ)( j) − (σ ◦ ρ)(i)
j − i
=
{i, j}∈P 2 (n)
σ (ρ( j)) − σ (ρ(i))
ρ( j) − ρ(i)
·
{i, j}∈P 2 (n)
ρ( j) − ρ(i)
j − i
.
L'application {i, j} } −→ {ρ(i),ρ( j)} étant une permutation de P 2 (n), on obtient :
ε(σ ◦ ρ) =
{k,l}∈P 2 (n)
σ (l) − σ (k)
l − k
·
{i, j}∈P 2 (n)
ρ( j) − ρ(i)
j − i
= ε(σ )ε(ρ).
D'autre part, il est clair que {−1,1} est un groupe pour la multiplication.
᭿
Proposition-Définition 2
Le noyau de ε est un sous-groupe de S n , appelé groupe alterné, et noté A n .
Preuve
On sait (Algèbre PCSI-PTSI 2.2.3 Prop. 2) que le noyau d'un morphisme de groupes est un sous-groupe. ᭿
Ainsi, A n = ε −1 ({1}) = {σ ∈ S n ; ε(σ ) = 1} , c'est-à-dire que A n est l'ensemble des
permutations paires de {1,. . . ,n}.
Rappel de définition : une paire est un
ensemble de deux éléments distincts.
L’indexation 1 i < j n est plus
commode que {i, j} ∈ P 2 (n).
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On peut diviser par ρ( j) − ρ(i) car
i = j et ρ est injective, donc
ρ(i) = ρ( j).
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Changement d’indexation pour le
premier produit.
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