1.4 • Calcul matriciel
31
Comme dans Algèbre PCSI-PTSI, §§ 8.3.2 et 8.3.3, on montre les résultats suivants :
1) L'ensemble des matrices de M n (K ) triangulaires supérieures par blocs (avec le même découpage) est une sous-algèbre unitaire de l'algèbre unitaire M n (K ).
De plus, les blocs diagonaux du produit de deux matrices triangulaires supérieures par blocs
(avec le même découpage) sont les produits des blocs diagonaux situés à la même place :
A 11
. . .
. . .
0
A ss
B 11
. . .
. . .
0
B ss
=
A 11 B 11
. . .
. . .
0
A ss B ss
.
2) Soit A une matrice triangulaire supérieure par blocs :
A =
A 11
. . .
. . .
0
A ss
.
Pour que A soit inversible (dans M n (K )), il faut et il suffit que :
∀ k ∈ {1,...,s} , det(A kk ) = 0.
De plus, dans ce cas, A −1 est triangulaire supérieure par blocs, et les blocs diagonaux de A −1
sont les inverses des blocs diagonaux de A :
A
−1 =
A
−1
11
. . .
. . .
0
A −1
ss
.
3) L'ensemble des matrices de M n (K ) diagonales par blocs (avec le même découpage) est une
sous-algèbre unitaire (non nécessairement commutative) de l'algèbre unitaire M n (K ). De plus :
A 11
0
. . .
0
A ss
B 11
0
. . .
0
B ss
=
A 11 B 11
0
. . .
0
A ss B ss
.
4) Soit A une matrice diagonale par blocs : A =
A 11
0
. . .
0
A ss
.
Pour que A soit inversible (dans M n (K )), il faut et il suffit que :
∀ k ∈ {1,...,s} , det(A kk ) = 0.
De plus, dans ce cas, A −1 est diagonale par blocs et :
A
−1 =
A
−1
11
0
. . .
0
A −1
ss
.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Exercice-type résolu
Utilisation de blocs
Soient n ∈ N
∗
, A ∈ M n (K ). Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(1) A /
∈ GL n (K )
(2) ∃ B ∈ M n (K ) − {0}, AB = B A = 0.
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Comme dans Algèbre PCSI-PTSI, §§ 8.3.2 et 8.3.3, on montre les résultats suivants :
1) L'ensemble des matrices de M n (K ) triangulaires supérieures par blocs (avec le même découpage) est une sous-algèbre unitaire de l'algèbre unitaire M n (K ).
De plus, les blocs diagonaux du produit de deux matrices triangulaires supérieures par blocs
(avec le même découpage) sont les produits des blocs diagonaux situés à la même place :
A 11
. . .
. . .
0
A ss
B 11
. . .
. . .
0
B ss
=
A 11 B 11
. . .
. . .
0
A ss B ss
.
2) Soit A une matrice triangulaire supérieure par blocs :
A =
A 11
. . .
. . .
0
A ss
.
Pour que A soit inversible (dans M n (K )), il faut et il suffit que :
∀ k ∈ {1,...,s} , det(A kk ) = 0.
De plus, dans ce cas, A −1 est triangulaire supérieure par blocs, et les blocs diagonaux de A −1
sont les inverses des blocs diagonaux de A :
A
−1 =
A
−1
11
. . .
. . .
0
A −1
ss
.
3) L'ensemble des matrices de M n (K ) diagonales par blocs (avec le même découpage) est une
sous-algèbre unitaire (non nécessairement commutative) de l'algèbre unitaire M n (K ). De plus :
A 11
0
. . .
0
A ss
B 11
0
. . .
0
B ss
=
A 11 B 11
0
. . .
0
A ss B ss
.
4) Soit A une matrice diagonale par blocs : A =
A 11
0
. . .
0
A ss
.
Pour que A soit inversible (dans M n (K )), il faut et il suffit que :
∀ k ∈ {1,...,s} , det(A kk ) = 0.
De plus, dans ce cas, A −1 est diagonale par blocs et :
A
−1 =
A
−1
11
0
. . .
0
A −1
ss
.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Exercice-type résolu
Utilisation de blocs
Soient n ∈ N
∗
, A ∈ M n (K ). Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
(1) A /
∈ GL n (K )
(2) ∃ B ∈ M n (K ) − {0}, AB = B A = 0.