Chapitre 1 • Compléments d’algèbre linéaire
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Remarques :
En effectuant un produit par blocs, veiller à respecter l'ordre des matrices dans les produits
de blocs. Par exemple, pour A,B,C,D ∈ M n (K ) : (A | B)
C
D
= AC + B D, qui est différent a priori de C A + B D.
Cependant, pour a ∈ K , on a vu qu'on pouvait confondre a et la matrice (a) de M 1 (K ).
Ainsi, pout toute V de M n,1 (K ), aV = V (a) ; mais (a)V n'existe pas (si n 2).
La Proposition suivante est immédiate.
Proposition 2 Transposition par blocs
On a, pour toute décomposition en blocs :
t
A 11 . . . A 1t
. . .
. . .
A s1 . . . A st
=
t A 11 . . .
t A s1
. . .
. . .
t A 1t . . .
t A st
.
Exemples :
Soient a ∈ K , V ∈ M n,1 (K ), A,B,C,D ∈ M n (K ) .
On a :
t
a
V
= (a t V ),
t
A B
C D
=
t A t C
t B t D
.
3) Matrices triangulaires par blocs, matrices diagonales par blocs
Définition
1) • Une matrice carrée A est dite triangulaire supérieure par blocs si et seulement
si elle admet une décomposition en blocs :
A =
A 11 . . . A 1s
. . .
. . .
0
A ss
telle que :
A 11 ,...,A ss sont des matrices carrées
les blocs situés sous la diagonale sont tous nuls.
• Définition analogue pour une matrice triangulaire inférieure par blocs.
• Une matrice carrée est dite triangulaire par blocs si et seulement si elle est triangulaire supérieure par blocs ou triangulaire inférieure par blocs.
2) Une matrice carrée A est dite diagonale par blocs si et seulement si elle admet
une décomposition en blocs :
A =
A 11
0
. . .
0
A ss
telle que :
A 11 ,...,A ss sont des matrices carrées
les blocs non diagonaux sont tous nuls.
On peut alors noter : A = diag(A 11 ,...,A ss ).
Cf. Algèbre PCSI-PTSI, 8.1.4 Rem. 3).
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Pour transposer une matrice
décomposée en blocs : on échange les
blocs (en les écrivant en colonnes de
blocs au lieu de lignes de blocs, par
exemple),et on transpose chaque bloc.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercices 1.4.9 à 1.4.14.
La notion de matrice triangulaire par
blocs généralise la notion de matrice
triangulaire.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
La notion de matrice diagonale par
blocs généralise la notion de matrice
diagonale.
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Géométrie
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Gé
ométrie Monier
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Remarques :
En effectuant un produit par blocs, veiller à respecter l'ordre des matrices dans les produits
de blocs. Par exemple, pour A,B,C,D ∈ M n (K ) : (A | B)
C
D
= AC + B D, qui est différent a priori de C A + B D.
Cependant, pour a ∈ K , on a vu qu'on pouvait confondre a et la matrice (a) de M 1 (K ).
Ainsi, pout toute V de M n,1 (K ), aV = V (a) ; mais (a)V n'existe pas (si n 2).
La Proposition suivante est immédiate.
Proposition 2 Transposition par blocs
On a, pour toute décomposition en blocs :
t
A 11 . . . A 1t
. . .
. . .
A s1 . . . A st
=
t A 11 . . .
t A s1
. . .
. . .
t A 1t . . .
t A st
.
Exemples :
Soient a ∈ K , V ∈ M n,1 (K ), A,B,C,D ∈ M n (K ) .
On a :
t
a
V
= (a t V ),
t
A B
C D
=
t A t C
t B t D
.
3) Matrices triangulaires par blocs, matrices diagonales par blocs
Définition
1) • Une matrice carrée A est dite triangulaire supérieure par blocs si et seulement
si elle admet une décomposition en blocs :
A =
A 11 . . . A 1s
. . .
. . .
0
A ss
telle que :
A 11 ,...,A ss sont des matrices carrées
les blocs situés sous la diagonale sont tous nuls.
• Définition analogue pour une matrice triangulaire inférieure par blocs.
• Une matrice carrée est dite triangulaire par blocs si et seulement si elle est triangulaire supérieure par blocs ou triangulaire inférieure par blocs.
2) Une matrice carrée A est dite diagonale par blocs si et seulement si elle admet
une décomposition en blocs :
A =
A 11
0
. . .
0
A ss
telle que :
A 11 ,...,A ss sont des matrices carrées
les blocs non diagonaux sont tous nuls.
On peut alors noter : A = diag(A 11 ,...,A ss ).
Cf. Algèbre PCSI-PTSI, 8.1.4 Rem. 3).
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
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Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Pour transposer une matrice
décomposée en blocs : on échange les
blocs (en les écrivant en colonnes de
blocs au lieu de lignes de blocs, par
exemple),et on transpose chaque bloc.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
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Gé
ométrie Monier
Exercices 1.4.9 à 1.4.14.
La notion de matrice triangulaire par
blocs généralise la notion de matrice
triangulaire.
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Géométrie
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ométrie Monier
La notion de matrice diagonale par
blocs généralise la notion de matrice
diagonale.
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