1.4 • Calcul matriciel
29
Théorème
Produit par blocs
Soient A ∈ M n, p (K ), B ∈ M p,q (K ),
A =
A 11 . . . A 1t
. . .
. . .
A s1 . . . A st
n 1
. . .
n s
,
B =
B 11 . . . B 1t
. . .
. . .
B s 1 . . . B s t
n
1
. . .
n
s
−→
p 1
. . . −→
p t
−→
p
1
. . . −→
p
t
des décompositions en blocs de A et B telles que :
s
= t,
(n
1 ,...,n
s ) = ( p 1 ,..., p t ).
Alors AB admet la décomposition en blocs :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
AB =
s
j=1
A 1 j B j1 . . .
s
j=1
A 1 j B jt
. . .
. . .
s
j=1
A s j B j1 . . .
s
j=1
A s j B jt
n 1
. . .
n s
p
1
. . .
p
t
Preuve (pouvant être omise en première lecture)
Soit (i, j ) ∈ {1,...,n} × {1,...,q}. Il existe (k,l ) ∈ {1,...,s} × {1,...,t } unique tel que :
n 0 + ... + n k−1 + 1 i n 0 + ... + n k et p
0 + ... + p
l −1 + 1 j
p
0 + ... + p
l .
L'élément de AB situé à la (i, j ) ème place vaut :
p
j=1
a i j b j j =
p 1
j=1
a i j b j j +
p 1 + p 2
j= p 1 +1
a i j b j j + ... +
p
j= p 1 +...+ p t−1 +1
a i j b j j .
Mais
p 1
j=1
a i j b j j ,
p 2
j= p 1 +1
a i j b j j , ,…,
p
j= p 1 +...+ p t−1 +1
a i j b j j sont respectivement les éléments de
A k1 B 1l , A k2 B 2l ,…, A ks B s l situés à la :
i − (n 0 + ... + n k−1 ), j − ( p
0 + ... + p
l −1
)
ème
place, d'où le résultat.
Exemples :
Soient a,b ∈ K, V, W ∈ M n,1 (K ) , L ∈ M 1,n (K ), A,B,C,D,A ,B ,C ,D ∈ M n (K ) .
On a :
(a L)
b
V
= (ab + LV ) ∈ M 1 (K )
b
V
(a L) =
ba bL
aV V L
∈ M n+1 (K )
A B
C D
V
W
=
AV + BW
CV + DW
∈ M 2n,1 (K )
A B
C D
A
B
C
D
=
A A
+ BC
AB
+ B D
C A
+ DC
C B
+ D D
∈ M 2n (K ).
On peut effectuer le produit de deux
matrices décomposées en blocs en
opérant sur les blocs (comme si ceux-ci
étaient des éléments de K),à condition
que les produits envisagés existent et en
respectant l’ordre des blocs.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Le lecteur pourra, conformément au
programme, admettre ce théorème.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
29
Théorème
Produit par blocs
Soient A ∈ M n, p (K ), B ∈ M p,q (K ),
A =
A 11 . . . A 1t
. . .
. . .
A s1 . . . A st
n 1
. . .
n s
,
B =
B 11 . . . B 1t
. . .
. . .
B s 1 . . . B s t
n
1
. . .
n
s
−→
p 1
. . . −→
p t
−→
p
1
. . . −→
p
t
des décompositions en blocs de A et B telles que :
s
= t,
(n
1 ,...,n
s ) = ( p 1 ,..., p t ).
Alors AB admet la décomposition en blocs :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
AB =
s
j=1
A 1 j B j1 . . .
s
j=1
A 1 j B jt
. . .
. . .
s
j=1
A s j B j1 . . .
s
j=1
A s j B jt
n 1
. . .
n s
p
1
. . .
p
t
Preuve (pouvant être omise en première lecture)
Soit (i, j ) ∈ {1,...,n} × {1,...,q}. Il existe (k,l ) ∈ {1,...,s} × {1,...,t } unique tel que :
n 0 + ... + n k−1 + 1 i n 0 + ... + n k et p
0 + ... + p
l −1 + 1 j
p
0 + ... + p
l .
L'élément de AB situé à la (i, j ) ème place vaut :
p
j=1
a i j b j j =
p 1
j=1
a i j b j j +
p 1 + p 2
j= p 1 +1
a i j b j j + ... +
p
j= p 1 +...+ p t−1 +1
a i j b j j .
Mais
p 1
j=1
a i j b j j ,
p 2
j= p 1 +1
a i j b j j , ,…,
p
j= p 1 +...+ p t−1 +1
a i j b j j sont respectivement les éléments de
A k1 B 1l , A k2 B 2l ,…, A ks B s l situés à la :
i − (n 0 + ... + n k−1 ), j − ( p
0 + ... + p
l −1
)
ème
place, d'où le résultat.
Exemples :
Soient a,b ∈ K, V, W ∈ M n,1 (K ) , L ∈ M 1,n (K ), A,B,C,D,A ,B ,C ,D ∈ M n (K ) .
On a :
(a L)
b
V
= (ab + LV ) ∈ M 1 (K )
b
V
(a L) =
ba bL
aV V L
∈ M n+1 (K )
A B
C D
V
W
=
AV + BW
CV + DW
∈ M 2n,1 (K )
A B
C D
A
B
C
D
=
A A
+ BC
AB
+ B D
C A
+ DC
C B
+ D D
∈ M 2n (K ).
On peut effectuer le produit de deux
matrices décomposées en blocs en
opérant sur les blocs (comme si ceux-ci
étaient des éléments de K),à condition
que les produits envisagés existent et en
respectant l’ordre des blocs.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Le lecteur pourra, conformément au
programme, admettre ce théorème.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier