Chapitre 1 • Compléments d’algèbre linéaire
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A B
C D
∈ M n+ p (K ) , pour A ∈ M n (K ), B ∈ M n, p (K ), C ∈ M p,n (K ) , D ∈ M p (K )
a L
C B
∈ M n+1 (K ) , pour a ∈ K , L ∈ M 1,n (K ), C ∈ M n,1 (K ) , B ∈ M n (K ).
Remarques :
1) Si A est une matrice carrée, nous n'utiliserons, sauf exception, que des décompositions en
blocs pour lesquelles s = t et (n 1 ,...,n s ) = ( p 1 ,..., p s ) :
A =
B 11
. . .
B 1s
. . .
. . .
B s1
. . .
B ss
n 1 lignes
. . .
n s lignes
→
n 1 colonnes
→
n s colonnes
Dans ce cas, les blocs B kk (k ∈ {1,...,s}) sont appelés les blocs diagonaux de la décomposition de A en blocs.
2) Soient E un K-ev de dimension finie, n = dim (E) , F un sev de E , p = dim(F), f ∈ L(E) .
Pour que F soit stable par f, il faut et il suffit qu'il existe une base B = (e 1 ,...,e n ) de E telle
que :
(e 1 ,...,e p ) est une base de F
Mat B ( f )
est de la forme
A
B
0
C
p
n− p
.
−→
p
−→
n− p
De plus, dans ce cas, A est la matrice dans (e 1 ,...,e p ) de l'endomorphisme induit par f sur F .
La Proposition suivante est immédiate.
2) Opérations sur les matrices décomposées en blocs
Proposition 1 Addition et loi externe par blocs
Soient λ ∈ K, A, B ∈ M n, p (K ).
Si A et B sont décomposées en blocs avec le même découpage, alors λA + B admet
la décomposition en blocs (avec le même découpage) obtenue en combinant les blocs
situés aux mêmes places :
λ
A 11 . . . A 1t
. . .
...
. . .
A s1 . . . A st
+
B 11 . . . B 1t
. . .
. . .
. . .
B s1 . . . B st
=
λA 11 + B 11 . . . λA 1t + B 1t
. . .
. . .
. . .
λA s1 + B s1 . . . λA st + B st
.
Exemples :
Soient x,y ∈ K ,X,Y ∈ M n,1 (K ),A,B,C,D,A
,B
,C
,D
∈ M n (K ).
x
X
+
y
Y
=
x + y
X + Y
,
A B
C D
+
A B
C D
=
A + A B + B
C + C D + D
.
Les blocs diagonaux B kk sont carrés.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
La présence de certains blocs de zéros
dans une décomposition en blocs peut
traduire la stabilité d'un sev.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Pour les matrices,une addition par blocs
s’effectue comme une addition
habituelle par éléments.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
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A B
C D
∈ M n+ p (K ) , pour A ∈ M n (K ), B ∈ M n, p (K ), C ∈ M p,n (K ) , D ∈ M p (K )
a L
C B
∈ M n+1 (K ) , pour a ∈ K , L ∈ M 1,n (K ), C ∈ M n,1 (K ) , B ∈ M n (K ).
Remarques :
1) Si A est une matrice carrée, nous n'utiliserons, sauf exception, que des décompositions en
blocs pour lesquelles s = t et (n 1 ,...,n s ) = ( p 1 ,..., p s ) :
A =
B 11
. . .
B 1s
. . .
. . .
B s1
. . .
B ss
n 1 lignes
. . .
n s lignes
→
n 1 colonnes
→
n s colonnes
Dans ce cas, les blocs B kk (k ∈ {1,...,s}) sont appelés les blocs diagonaux de la décomposition de A en blocs.
2) Soient E un K-ev de dimension finie, n = dim (E) , F un sev de E , p = dim(F), f ∈ L(E) .
Pour que F soit stable par f, il faut et il suffit qu'il existe une base B = (e 1 ,...,e n ) de E telle
que :
(e 1 ,...,e p ) est une base de F
Mat B ( f )
est de la forme
A
B
0
C
p
n− p
.
−→
p
−→
n− p
De plus, dans ce cas, A est la matrice dans (e 1 ,...,e p ) de l'endomorphisme induit par f sur F .
La Proposition suivante est immédiate.
2) Opérations sur les matrices décomposées en blocs
Proposition 1 Addition et loi externe par blocs
Soient λ ∈ K, A, B ∈ M n, p (K ).
Si A et B sont décomposées en blocs avec le même découpage, alors λA + B admet
la décomposition en blocs (avec le même découpage) obtenue en combinant les blocs
situés aux mêmes places :
λ
A 11 . . . A 1t
. . .
...
. . .
A s1 . . . A st
+
B 11 . . . B 1t
. . .
. . .
. . .
B s1 . . . B st
=
λA 11 + B 11 . . . λA 1t + B 1t
. . .
. . .
. . .
λA s1 + B s1 . . . λA st + B st
.
Exemples :
Soient x,y ∈ K ,X,Y ∈ M n,1 (K ),A,B,C,D,A
,B
,C
,D
∈ M n (K ).
x
X
+
y
Y
=
x + y
X + Y
,
A B
C D
+
A B
C D
=
A + A B + B
C + C D + D
.
Les blocs diagonaux B kk sont carrés.
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Géométrie
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Gé
ométrie Monier
La présence de certains blocs de zéros
dans une décomposition en blocs peut
traduire la stabilité d'un sev.
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Géométrie
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Gé
ométrie Monier
Pour les matrices,une addition par blocs
s’effectue comme une addition
habituelle par éléments.
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Gé
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