1.4 • Calcul matriciel
27
1.4.2 Blocs
1) Décomposition en blocs
Soient
• n, p ∈ N ∗ , A = (a i j ) i j ∈ M n, p (K )
• s,t ∈ N ∗ , (n 1 ,...,n s ) ∈ (N ∗ ) s , ( p 1 ,..., p t ) ∈ (N ∗ ) t tels que n 1 + . . . + n s = n et
p 1 + . . . + p t = p
• n 0 = p 0 = 0
• σ k =
k
i=0
n i , pour k ∈ {0,...,s}
• τ l =
l
j=0
p j , pour l ∈ {0,...,t}.
Dans A, groupons les éléments « par blocs » :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
A =























a 11 . . . a 1 1
. . .
. . .
a σ11 . . . a σ1 τ1
a 1 τ1+1 . . . a 1 τ2
. . .
. . .
a σ1 τ1+1 . . . a σ1 τ2
. . .
a 1τt−1+1 . . . a 1 p
. . .
. . .
a σ 1 τ t−1 +1 . . . a σ 1 p
a σ 1 +1 . . . a σ1+1 τ1
. . .
. . .
a σ2 1 . . . a σ2 τ1
a σ1+1 τ1+1 . . . a σ1+1 τ2
. . .
. . .
a σ2 τ1+1
. . . a σ2 τ2
a σ1+1τt−1+1 . . . a σ1+1 p
. . .
. . .
a σ 2 τ t−1 +1
. . . a σ 2 p
. . .
. . .
a σs−1+1 1 . . . a σs−1+1 τ1
. . .
. . .
a n 1
. . .
a n τ1
a σs−1+1 τ1+1 . . . a σs−1+1 τ2
. . .
. . .
a n τ1+1
. . .
a n τ2
. . .
a σs−1+1τt−1+1 . . . a σs−1+1 p
. . .
. . .
a n τt−1+1
. . .
a n, p























.
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
τ
1
Pour (k,l) ∈ {1,...,s} × {1,...,t} , la matrice
B k,l =



a σ k−1 +1 τ l−1 +1 . . . a σ k−1 +1 τ l
. . .
. . .
a σ k τ l−1 +1
. . .
a σ k τ l



de M n k , p l (K ) est appelée le (k,l) ème bloc dans la décomposition de A en blocs suivant le
découpage (n 1 ,...,n s ) pour les lignes et ( p 1 ,..., p t ) pour les colonnes :
A =







B 11
. . .
B 1t
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
B s1
. . .
B st







−→
n 1
p 1
p t
lignes
colonnes
n s
. . .
. . .
. . .
. . . . . .
. . .
. . .
−→
colonnes
−→
→
− →
→
. . .
lignes
.
Pour la commodité, on pourra omettre les traits indiquant le découpage.
Quelques exemples de décompositions en blocs :
x
X
∈ M n+1,1 (K ), pour x ∈ K , X ∈ M n,1 (K ).
(X Y) ∈ M n, p+q (K ), pour X ∈ M n, p (K ), Y ∈ M n,q (K )