Chapitre 1 • Compléments d’algèbre linéaire
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Les méthodes à retenir
Trace
• Pour résoudre une question portant sur un ou des projecteurs en dimension finie, on peut essayer d’utiliser
la formule tr ( p) = rg ( p) (ex. 1.4.2, 1.4.3, 1.4.7).
• Pour résoudre une question sur des matrices carrées de rang 1, on peut essayer d’utiliser le résultat de l'exercice 8.1.30 b) du volume Algèbre PCSI-PTSI : pour toute matrice carrée H telle que rg (H ) 1, on a :
H
2
= tr (H )H (ex. 1.4.6).
1.4.1 Résoudre l'équation d'inconnue X ∈ M 5 (R) :
3X + 2 t X = tr (X) I 5 .
1.4.2 Soient E un C -ev de dimension finie, N ∈ N ∗ ,
α 1 ,. . . ,α N ∈ R ∗
+ , p 1 ,... p N des projecteurs de E.
On suppose :
N
i=1
α i p i = 0.
Montrer :
∀ i ∈ {1,...,N }, p i = 0.
1.4.3
Soient E un K-ev de dimension finie,
n = dim (E) 1, f 1 ,..., f n ∈ L(E) − {0} tels que :
∀ i, j ∈ {1,...,n}, f i ◦ f j = δ i j f i ,
où δ i j est le symbole de Kronecker.
Montrer :
∀ i ∈ {1,...,n}, rg ( f i ) = 1.
1.4.4 Soient A,B ∈ M 2 (K ) telles que :
tr (A) = 0 et A 2 B = AB 2 .
Montrer :
AB = B A.
1.4.5 Soient n ∈ N ∗ , A,B ∈ M n (K ) telles que :
A = 0, B = 0, 1 − tr (A) tr (B) = 0.
Résoudre
le
système
d'équations
d'inconnue
(X,Y ) ∈ (M n (K )) 2 :
X = I n + tr (Y )A
Y = I n + tr (X)B.
1.4.6 Soient n ∈ N ∗ , A,B ∈ M n (K ). On suppose :
rg (AB − B A) 1.
Montrer :
Im (AB − B A) ⊂ Ker (AB − B A).
On pourra utiliser l'exercice 8.1.30 b) du volume Algèbre
PCSI-PTSI.
1.4.7 Soient n ∈ N ∗ , G un sous-groupe fini de GL n (C).
a) On note ν = Card (G) et P =
1
ν
M∈G
M.
Montrer :
∀ N ∈ G, P N = P
et en déduire :
P 2 = P.
b) Montrer que, si
M∈G
tr (M) = 0, alors
M∈G
M = 0.
Exercices