1.4 • Calcul matriciel
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Conseils
Puisque p i est un projecteur d'un ev de
dimension finie, on a :
tr ( p i ) = rg ( p i ).
On a, pour tous sev F,G d'un ev de dimension finie, d'après la formule de Grassmann :
dim (F + G)
= dim (E) + dim (F) − dim (F ∩ G)
dim (F) + dim (G),
d'où l'inégalité pour la dimension de la
somme de plusieurs sev.
La somme
1iN+1, i = j
Im ( p i ) est directe.
Solution
On a :
dim (E) = tr (e) = tr
N +1
i=1
p i
=
N +1
i=1
tr ( p i ) =
N +1
i=1
rg ( p i ) =
N +1
i=1
dim
Im ( p i )
.
D'autre part, pour tout x ∈ E :
x = e(x) =
N +1
i=1
p i
(x) =
N +1
i=1
p i (x) ∈
N +1
i=1
Im ( p i ),
donc : E ⊂
N +1
i=1
Im ( p i ),
puis :
dim (E) dim
N +1
i=1
Im ( p i )
N +1
i=1
dim
Im ( p i )
.
On a donc :
dim (E) dim
N +1
i=1
Im ( p i )
N +1
i=1
dim
Im ( p i )
= dim (E),
d'où nécessairement :
dim
N +1
i=1
Im ( p i )
=
N +1
i=1
dim
Im ( p i )
.
D'après l'exercice-type du § 1.1 p. 8, la somme
N +1
i=1
Im ( p i ) est directe et
N +1
i=1
Im ( p i ) = E.
• Soient j ∈ {1,...,N }, x ∈ E.
On a :
p j (x) =
N +1
i=1
p i
p j (x)
=
N +1
i=1
p i ◦ p j (x) = p j (x) +
1iN +1, i = j
p i ◦ p j (x),
donc :
1iN +1, i = j
p i
p j (x)
= 0.
Comme la somme
N +1
i=1
Im ( p i ) est directe, il en résulte :
∀ i ∈ {1,...,N + 1},
i = j ⇒ p i
p j (x)
= 0
.
Finalement, en particulier :
∀ (i, j) ∈ {1,...,N }
2 ,
i = j ⇒ p i ◦ p j = 0
,
ce qui établit (2).