Chapitre 1 • Compléments d’algèbre linéaire
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Preuve
Le sev Im ( p) de E admet au moins une base B 1 , et le sev Ker ( p) de E admet au moins une base B 2 .
Puisque p est un projecteur, on a : Im ( p) ⊕ Ker ( p) = E, donc B = B 1 ∪ B 2 (réunion ordonnée) est
une base de E. La matrice A de p dans B est :
A =
I r 0
0 0
∈ M n (K ),
où r = dim (Im ( p)) = rg ( p). On a donc :
tr ( p) = tr (A) = r = rg (A) = rg ( p).
᭿
On confond l’entier r et l’élément r1 K ,
où 1 K est le neutre de la multiplication
dans K.
Exercices 1.4.2, 1.4.3, 1.4.7.
Exercice-type résolu
Somme de projecteurs en dimension finie
Soient E un K-ev de dimension finie, N ∈ N
∗
, p 1 ,..., p N des projecteurs de E . Montrer que les deux propriétés suivantes sont
équivalentes :
(1)
N
i=1
p i est un projecteur de E
(2) ∀ (i, j) ∈ {1,...,n}
2 ,
i = j ⇒ p i ◦ p j = 0
.
Conseils
On commence par l'implication qui paraît
la plus facile.
Rappel : un endomorphisme f de E est un
projecteur si et seulement si :
f ◦ f = f.
Cet artifice permet de se ramener au cas
d'une somme de projecteurs égale à e.
Solution
Notons e = Id E , p =
N
i=1
p i .
(2) ⇒ (1) :
On suppose : ∀ (i, j) ∈ {1,...,n}
2 ,
i = j ⇒ p i ◦ p j = 0
.
On a :
p ◦ p =
N
i=1
p i
◦
N
j=1
p j
=
N
i=1
p i ◦ p i +
1i, jN, i = j
p i ◦ p j
=
N
i=1
p i + 0 = p,
donc p est un projecteur de E.
(1) ⇒ (2) :
On suppose que p est un projecteur de E.
• Notons p N +1 = e − p, qui est un projecteur, car :
(e − p)
2 = e
2 − 2 p + p
2 = e − 2 p + p = e − p.
On a alors :
N +1
i=1
p i = e.