1.4 • Calcul matriciel
23
Proposition 1
1) L'application tr : M n (K ) −→ K
A −→ tr (A)
est une forme linéaire, c'est-à-dire :
∀ α ∈ K , ∀ A,B ∈ M n (K ), tr (α A + B) = α tr (A) + tr (B).
2) ∀ A ∈ M n, p (K ), ∀ B ∈ M p,n (K ), tr (AB) = tr (B A).
3) ∀ A ∈ M n (K ), ∀ P ∈ GL n (K ), tr (P
−1 AP) = tr (A).
Preuve
1) En notant A = (a i j ) i j , B = (b i j ) i j , on a :
tr (α A + B) =
n
i=1
(αa ii + b ii ) = α
n
i=1
a ii +
n
i=1
b ii = α tr (A) + tr (B).
2) Remarquer d'abord que AB et B A sont carrées, respectivement d'ordres n et p.
En notant A = (a i j ) i j , B = (b i j ) i j , on a :
tr (AB) =
n
i=1
p
j=1
a i j b ji
=
p
j=1
n
i=1
b ji a i j
= tr (B A).
3) D'après 2) :
tr (P
−1 AP) = tr (P
−1 (AP)) = tr ((AP)P
−1 ) = tr (A).
Rappelons la Définition et la Proposition suivantes, déjà vues dans Algèbre PCSI-PTSI, § 8.2.4.
Proposition-Définition 2
Soient E un K-ev de dimension finie, f ∈ L(E). On appelle trace de f, et on note
tr ( f ), la trace de n'importe quelle matrice carrée représentant l'endomorphisme f.
En transcrivant la Proposition 1 en termes d'endomorphismes, on obtient la Proposition suivante.
Proposition 2
Soient E,F des K-ev de dimensions finies.
1) L'application tr : L(E) −→ K
f −→ tr ( f )
est une forme linéaire, c'est-à-dire :
∀ α ∈ K , ∀ f,g ∈ L(E), tr (α f + g) = α tr ( f ) + tr (g).
2) ∀ f ∈ L(E,F), ∀ g ∈ L(F,E), tr ( f ◦ g) = tr (g ◦ f ).
3) ∀ f ∈ L(E), ∀ h ∈ GL(E), tr (h
−1
◦ f ◦ h) = tr ( f ).
Proposition 3
Soient E un K-ev de dimension finie, p un projecteur de E. On a alors :
tr ( p) = rg ( p).
La formule 2) est très importante pour les
exercices et problèmes.
Permutation de deux symboles
.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercices 1.4.1, 1.4.4 à 1.4.6.
D'après le 3) de la Proposition 2, toutes
les matrices carrées représentant f ont
la même trace.
Monie r Algèbre Monier
Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Résultat très utile pour les exercices et
problèmes.
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Proposition 1
1) L'application tr : M n (K ) −→ K
A −→ tr (A)
est une forme linéaire, c'est-à-dire :
∀ α ∈ K , ∀ A,B ∈ M n (K ), tr (α A + B) = α tr (A) + tr (B).
2) ∀ A ∈ M n, p (K ), ∀ B ∈ M p,n (K ), tr (AB) = tr (B A).
3) ∀ A ∈ M n (K ), ∀ P ∈ GL n (K ), tr (P
−1 AP) = tr (A).
Preuve
1) En notant A = (a i j ) i j , B = (b i j ) i j , on a :
tr (α A + B) =
n
i=1
(αa ii + b ii ) = α
n
i=1
a ii +
n
i=1
b ii = α tr (A) + tr (B).
2) Remarquer d'abord que AB et B A sont carrées, respectivement d'ordres n et p.
En notant A = (a i j ) i j , B = (b i j ) i j , on a :
tr (AB) =
n
i=1
p
j=1
a i j b ji
=
p
j=1
n
i=1
b ji a i j
= tr (B A).
3) D'après 2) :
tr (P
−1 AP) = tr (P
−1 (AP)) = tr ((AP)P
−1 ) = tr (A).
Rappelons la Définition et la Proposition suivantes, déjà vues dans Algèbre PCSI-PTSI, § 8.2.4.
Proposition-Définition 2
Soient E un K-ev de dimension finie, f ∈ L(E). On appelle trace de f, et on note
tr ( f ), la trace de n'importe quelle matrice carrée représentant l'endomorphisme f.
En transcrivant la Proposition 1 en termes d'endomorphismes, on obtient la Proposition suivante.
Proposition 2
Soient E,F des K-ev de dimensions finies.
1) L'application tr : L(E) −→ K
f −→ tr ( f )
est une forme linéaire, c'est-à-dire :
∀ α ∈ K , ∀ f,g ∈ L(E), tr (α f + g) = α tr ( f ) + tr (g).
2) ∀ f ∈ L(E,F), ∀ g ∈ L(F,E), tr ( f ◦ g) = tr (g ◦ f ).
3) ∀ f ∈ L(E), ∀ h ∈ GL(E), tr (h
−1
◦ f ◦ h) = tr ( f ).
Proposition 3
Soient E un K-ev de dimension finie, p un projecteur de E. On a alors :
tr ( p) = rg ( p).
La formule 2) est très importante pour les
exercices et problèmes.
Permutation de deux symboles
.
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Géométrie
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Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Exercices 1.4.1, 1.4.4 à 1.4.6.
D'après le 3) de la Proposition 2, toutes
les matrices carrées représentant f ont
la même trace.
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Géométrie
Moni er Algèbre Monier
Mon ier Algèbre Géomé
Gé
ométrie Monier
Résultat très utile pour les exercices et
problèmes.