Chapitre 1 • Compléments d’algèbre linéaire
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1.4 Calcul matriciel
1.4.1 Trace
Définition 1
Pour toute matrice carrée A = (a i j ) i j ∈ M n (K ), on définit la trace de A, notée
tr (A), par :
tr (A) =
n
i=1
a ii .
1.3.1 Soient E un K-ev, f ∈ L(E) de rang 1, u ∈ E − {0}
tel que Im( f ) = K u.
a) Montrer qu'il existe ϕ ∈ E ∗ unique tel que :
∀ x ∈ E, f (x) = ϕ(x)u.
b) Montrer qu'il existe α ∈ K unique tel que f 2 = α f et
que, si α = 1 , f − Id E est inversible.
1.3.2 Démontrer que les K-ev (K [X]) ∗ et K N sont isomorphes.
1.3.3 Soient E un K-ev, H un hyperplan de E, F un sev
de E tel que F ⊂ H.
Démontrer que F ∩ H est un hyperplan de F.
1.3.4 Soient ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 : R 3 −→ R définies, pour tout
(x 1 , x 2 , x 3 ) de R 3 , par :
ϕ 1 (x 1 ,x 2 ,x 3 ) = 2x 1 + 4x 2 + x 3
ϕ 2 (x 1 ,x 2 ,x 3 ) = 4x 1 + 2x 2 + 3x 3
ϕ 3 (x 1 ,x 2 ,x 3 ) = x 1 + x 2 .
Montrer que (ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 ) est une base de (R 3 ) ∗ et en déterminer la base préduale.
1.3.5 Soient (α,β) ∈ R 2 , ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 : R 3 −→ R définies
pour tout (x, y, z) de R 3 par :
ϕ 1 (x,y,z) = x + αy + βz
ϕ 2 (x,y,z) = αx + α 2 y + z
ϕ 3 (x,y,z) = βx + y + α 2 z.
a) CNS sur (α,β) pour que (ϕ 1 ,ϕ 2 ,ϕ 3 ) soit une base
de (R 3 ) ∗ .
b) Lorsque (ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 ) est une base de (R 3 ) ∗ , en déterminer la base préduale.
1.3.6 Soient n ∈ N ∗ , E = C n [X] le C -ev des polynômes
de C[X] de degré n, a ∈ C.
Pour tous i, j de {0,...,n}, on note :
ϕ i : E −→ C
P −→
1
i!
P
(i) (a)
et e j = (X − a)
j .
Montrer que (e 0 ,...,e n ) et (ϕ 0 ,...,ϕ n ) sont deux bases
de E et E ∗ respectivement, duales l'une de l'autre.
Retrouver ainsi la formule de Taylor pour les polynômes.
1.3.7 Soit n ∈ N ∗ .
Montrer que, pour toute A de M n (K ), l'application
M n (K ) −→ K
X −→ tr(AX)
est un élément de (M n (K )) ∗ , puis que
l'application θ : M n (K ) −→ (M n (K )) ∗ définie par :
∀ A ∈ M n (K ) , ∀ X ∈ M n (K ),(θ(A))(X) = tr (AX)
est un isomorphisme de K-ev.
1.3.8 Soient E un K-ev de dimension finie, n = dim (E).
a) Soient p ∈ N ∗ , ϕ 1 , …, ϕ p+1 ∈ E ∗ .
Montrer que, si ϕ p+1 ∈ Vect (ϕ 1 ,...,ϕ p ), alors :
p
i=1
Ker (ϕ i ) =
p+1
i=1
Ker (ϕ i ).
b) Soient q ∈ N ∗ , ϕ 1 ,...,ϕ q ∈ E ∗ , r = rg (ϕ 1 ,...,ϕ q ) .
Montrer : dim
q
i=1
Ker (ϕ i )
= n − r.
c) En déduire que, pour toute famille (ϕ 1 ,...,ϕ n ) de
n éléments de E ∗ , (ϕ 1 ,...,ϕ n ) est liée si et seulement si :
∃ x ∈ E − {0}, ∀ i ∈ {1,...,n}, ϕ i (x) = 0.
Exercices
On ne définit pas la trace d’une matrice
non carrée.
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1.4 Calcul matriciel
1.4.1 Trace
Définition 1
Pour toute matrice carrée A = (a i j ) i j ∈ M n (K ), on définit la trace de A, notée
tr (A), par :
tr (A) =
n
i=1
a ii .
1.3.1 Soient E un K-ev, f ∈ L(E) de rang 1, u ∈ E − {0}
tel que Im( f ) = K u.
a) Montrer qu'il existe ϕ ∈ E ∗ unique tel que :
∀ x ∈ E, f (x) = ϕ(x)u.
b) Montrer qu'il existe α ∈ K unique tel que f 2 = α f et
que, si α = 1 , f − Id E est inversible.
1.3.2 Démontrer que les K-ev (K [X]) ∗ et K N sont isomorphes.
1.3.3 Soient E un K-ev, H un hyperplan de E, F un sev
de E tel que F ⊂ H.
Démontrer que F ∩ H est un hyperplan de F.
1.3.4 Soient ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 : R 3 −→ R définies, pour tout
(x 1 , x 2 , x 3 ) de R 3 , par :
ϕ 1 (x 1 ,x 2 ,x 3 ) = 2x 1 + 4x 2 + x 3
ϕ 2 (x 1 ,x 2 ,x 3 ) = 4x 1 + 2x 2 + 3x 3
ϕ 3 (x 1 ,x 2 ,x 3 ) = x 1 + x 2 .
Montrer que (ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 ) est une base de (R 3 ) ∗ et en déterminer la base préduale.
1.3.5 Soient (α,β) ∈ R 2 , ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 : R 3 −→ R définies
pour tout (x, y, z) de R 3 par :
ϕ 1 (x,y,z) = x + αy + βz
ϕ 2 (x,y,z) = αx + α 2 y + z
ϕ 3 (x,y,z) = βx + y + α 2 z.
a) CNS sur (α,β) pour que (ϕ 1 ,ϕ 2 ,ϕ 3 ) soit une base
de (R 3 ) ∗ .
b) Lorsque (ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 ) est une base de (R 3 ) ∗ , en déterminer la base préduale.
1.3.6 Soient n ∈ N ∗ , E = C n [X] le C -ev des polynômes
de C[X] de degré n, a ∈ C.
Pour tous i, j de {0,...,n}, on note :
ϕ i : E −→ C
P −→
1
i!
P
(i) (a)
et e j = (X − a)
j .
Montrer que (e 0 ,...,e n ) et (ϕ 0 ,...,ϕ n ) sont deux bases
de E et E ∗ respectivement, duales l'une de l'autre.
Retrouver ainsi la formule de Taylor pour les polynômes.
1.3.7 Soit n ∈ N ∗ .
Montrer que, pour toute A de M n (K ), l'application
M n (K ) −→ K
X −→ tr(AX)
est un élément de (M n (K )) ∗ , puis que
l'application θ : M n (K ) −→ (M n (K )) ∗ définie par :
∀ A ∈ M n (K ) , ∀ X ∈ M n (K ),(θ(A))(X) = tr (AX)
est un isomorphisme de K-ev.
1.3.8 Soient E un K-ev de dimension finie, n = dim (E).
a) Soient p ∈ N ∗ , ϕ 1 , …, ϕ p+1 ∈ E ∗ .
Montrer que, si ϕ p+1 ∈ Vect (ϕ 1 ,...,ϕ p ), alors :
p
i=1
Ker (ϕ i ) =
p+1
i=1
Ker (ϕ i ).
b) Soient q ∈ N ∗ , ϕ 1 ,...,ϕ q ∈ E ∗ , r = rg (ϕ 1 ,...,ϕ q ) .
Montrer : dim
q
i=1
Ker (ϕ i )
= n − r.
c) En déduire que, pour toute famille (ϕ 1 ,...,ϕ n ) de
n éléments de E ∗ , (ϕ 1 ,...,ϕ n ) est liée si et seulement si :
∃ x ∈ E − {0}, ∀ i ∈ {1,...,n}, ϕ i (x) = 0.
Exercices
On ne définit pas la trace d’une matrice
non carrée.