1.3 • Dualité
21
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Conseils
Toute base de E ∗ admet une base
anté-duale et une seule, cf. § 1.3.3
Prop.-Déf. 5.
On considère, parmi les primitives de P j ,
celle qui s'annule en 0.
Q j est un multiple de X, car Q j (0) = 0.
Solution
• Comme dim (E
∗
) = dim (E) = n + 1 et que la famille (ϕ k ) 0kn est libre
dans E
∗ et a n + 1 éléments, on conclut que (ϕ k ) 0kn est une base de E
∗
.
D'après le Cours, il existe une base unique (P 0 ,...,P n ) de E telle que (ϕ 0 ,...,ϕ n ) soit
la base duale de (P 0 ,...,P n ).
On a donc :
∀ (i, j) ∈ {0,...,n}
2 , δ i j = ϕ i (P j ) =
ai
0
P j (x) dx.
Notons, pour tout j ∈ {0,...,n} :
Q j (X) =
X
0
P j .
On a donc, pour tout j ∈ {0,...,n} :
Q j ∈ R n+1 [X],
Q
j = P j ,
Q j (0) = 0,
et il existe donc A j ∈ E tel que : Q j = XA j .
On déduit, pour tout (i, j) ∈ {0,...,n}
2 :
δ i j =
ai
0
P j = Q j (a i ) = a i A j (a i ),
d'où : A j (a i ) =
δ i j
a i
.
En notant L 0 ,...,L n les polynômes d'interpolation de Lagrange sur les points
a 0 ,...a n , par unicité de (L 0 ,...,L n ), on a donc :
∀ j ∈ {0,...,n}, A j =
1
a j
L j .
On déduit, pour tout j ∈ {0,...,n} :
P j = Q
j = (XA j )
=
1
a j
(XL
j + L j ).
En conclusion, la base anté-duale de (ϕ 0 ,...,ϕ n ) est (P 0 ,...,P n ), où :
∀ j ∈ {0,...,n}, P j =
1
a j
(XL
j + L j ).
Les méthodes à retenir
Dualité
• Pour déterminer la base duale d’une base ou la base anté-duale d’une base d’un dual, dans un exemple
(ex. 1.3.4, 1.3.5), appliquer la Prop. 4 p. 18.
• Pour obtenir un résultat en liaison avec la dualité, en dimension finie, penser à faire éventuellement intervenir une base duale ou une base anté-duale (ex. 1.3.8).
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Conseils
Toute base de E ∗ admet une base
anté-duale et une seule, cf. § 1.3.3
Prop.-Déf. 5.
On considère, parmi les primitives de P j ,
celle qui s'annule en 0.
Q j est un multiple de X, car Q j (0) = 0.
Solution
• Comme dim (E
∗
) = dim (E) = n + 1 et que la famille (ϕ k ) 0kn est libre
dans E
∗ et a n + 1 éléments, on conclut que (ϕ k ) 0kn est une base de E
∗
.
D'après le Cours, il existe une base unique (P 0 ,...,P n ) de E telle que (ϕ 0 ,...,ϕ n ) soit
la base duale de (P 0 ,...,P n ).
On a donc :
∀ (i, j) ∈ {0,...,n}
2 , δ i j = ϕ i (P j ) =
ai
0
P j (x) dx.
Notons, pour tout j ∈ {0,...,n} :
Q j (X) =
X
0
P j .
On a donc, pour tout j ∈ {0,...,n} :
Q j ∈ R n+1 [X],
Q
j = P j ,
Q j (0) = 0,
et il existe donc A j ∈ E tel que : Q j = XA j .
On déduit, pour tout (i, j) ∈ {0,...,n}
2 :
δ i j =
ai
0
P j = Q j (a i ) = a i A j (a i ),
d'où : A j (a i ) =
δ i j
a i
.
En notant L 0 ,...,L n les polynômes d'interpolation de Lagrange sur les points
a 0 ,...a n , par unicité de (L 0 ,...,L n ), on a donc :
∀ j ∈ {0,...,n}, A j =
1
a j
L j .
On déduit, pour tout j ∈ {0,...,n} :
P j = Q
j = (XA j )
=
1
a j
(XL
j + L j ).
En conclusion, la base anté-duale de (ϕ 0 ,...,ϕ n ) est (P 0 ,...,P n ), où :
∀ j ∈ {0,...,n}, P j =
1
a j
(XL
j + L j ).
Les méthodes à retenir
Dualité
• Pour déterminer la base duale d’une base ou la base anté-duale d’une base d’un dual, dans un exemple
(ex. 1.3.4, 1.3.5), appliquer la Prop. 4 p. 18.
• Pour obtenir un résultat en liaison avec la dualité, en dimension finie, penser à faire éventuellement intervenir une base duale ou une base anté-duale (ex. 1.3.8).