362
Réponse : Les deux plans d'équations
x − y + 3z + 1 = 0, x − 2y + 6z + 4 = 0 .
a) Un plan P, parallèle à x Oy , d'équation z = z 0
(z 0 ∈ [1; +∞[) coupe Γ en deux points de paramètres
t 1 =
√
z 0 − 1, t 2 = −t 1 ; former une représentation paramétrique de la droite
M(t 1 )M(t 2 )
.
Réponse : Une représentation paramétrique de S est : x = tu,
y = t
3 u, z = t
2
+ 1, (t,u) ∈ R
2 ; une équation cartésienne de
S est : xz = x + y, z 1.
b) Une équation du plan tangent à S en un point M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 )
de S est :
(z 0 − 1)(x − x 0 ) − (y − y 0 ) + x 0 (z − z 0 ) = 0.
Ce plan passe par O si et seulement si x 0 + y 0 − 2x 0 z 0 = 0.
Réponse : L'ensemble des points de S en lesquels le plan tangent contient O est la demi-droite d'équations : x = 0, y = 0,
z 1.
• Pour tout point M(x,y,z) de E 3 , on a :
M ∈ S 1 ∩ S 2 ⇐⇒
y
2
(x
2
+ z
2
) = b
2 x
2
+ a
2 z
2
x
2
c 2 − a 2 +
y
2
c 2 +
z
2
c 2 − b 2 = 1
⇐⇒

   
   
y
2
=
b
2 x
2
+ a
2 z
2
x 2 + z 2
c
2
1 −
x
2
c 2 − a 2 −
z
2
c 2 − b 2
(x
2
+ z
2
) = b
2 x
2
+ a
2 z
2
(1)
Et : (1) ⇐⇒
x
2
c 2 − a 2 +
z
2
c 2 − b 2
(c
2
− a
2
)(c
2
− b
2
) − c
2
(x
2
+ z
2
)
= 0.
Comme 0 < a < c < b , le deuxième facteur ne peut pas s'annuler. On déduit :
M ∈ S 1 ∩ S 2 ⇐⇒

 
 
x
2
c 2 − a 2 =
z
2
b 2 − c 2
y
2
c 2 = 1.
Ceci montre que S 1 ∩ S 2 est formée de quatre droites.
• Notons F 1 ,F 2 : R
3
−→ R les applications définies par, pour
tout (x,y,z) de R
3 :
F 1 (x,y,z) = y
2 (x
2 + z
2 ) − (b
2 x
2 + a
2 z
2 ),
F 2 (x,y,z) =
x
2
c 2 − a 2 +
y
2
c 2 +
z
2
c 2 − b 2 − 1.
Ces applications sont de classe C
1 sur R
3 et, pour tout (x,y,z)
de R
3 :
− − →
grad F 1 (x,y,z) = 2
x(y
2 − b
2 ), y(x
2 + z
2 ), z(y
2 − a
2 )
,
− − →
grad F 2 (x,y,z) = 2
x
c 2 − a 2 ,
y
c 2 ,
z
c 2 − b 2
.
Soit M(x,y,z) un point de S 1 ∩ S 2 .
Si M = (0,±c,0), alors
− − →
grad F 1 (M) =
− →
0 et
− − →
grad F 2 (M)
=
− →
0 , donc M est un point régulier de S 1 et de S 2 . On a :
− − →
grad F 1 (M) ·
− − →
grad F 2 (M)
=
x
2
(y
2
− b
2
)
c 2 − a 2 +
y
2
(x
2
+ z
2
)
c 2
+
(y
2
− a
2
)z
2
c 2 − b 2
=
x
2
(c
2
− b
2
)
c 2 − a 2 + (x
2 + z
2 ) +
(c
2
− a
2
)z
2
c 2 − b 2
= (2c
2 − a
2 − b
2 )
x
2
c 2 − a 2 +
z
2
c 2 − b 2
= 0,
donc les plans tangents en M à S 1 etS 2 sont orthogonaux.
O est un point régulier de S, et le plan tangent en O à S est
x Oy . Au voisinage de (0,0), (x,y) −→ y tan x est > 0 ou
< 0 , selon que xy > 0 ou xy < 0. Donc, S traverse son plan
tangent en O ; le point O est un point-col de S.
z
y
O
S
x
6.3.17
6.3.16
6.3.14
6.3.15
a) Une représentation paramétrique de S est :
x = a cos t + λ, y = a sin t,
z = a sin t cos t + λ, (t,λ) ∈ R
2 .
Eliminer (t,λ).
Réponse : a
2
(x − z)
2
+ (a − y)
2 y
2
− a
2
(a − y)
2
= 0 .
b) Même méthode qu'en a)
Réponse : 4x
2
+ (y − z)
2
+ 4y − 4z − 1 = 0 .
Puisque Γ est plane, dans le plan x + y + z = a, les génératrices de S sont parallèles à − → u (1,1,1) .
Pour obtenir une EC de S, on élimine (λ,x 0 ,y 0 ,z 0 ) dans :
x = x 0 + λ, y = y 0 + λ, z = z 0 + λ,
x 0 y 0 z 0 = a
3 , x 0 + y 0 + z 0 = a.
Réponse :
(2x − y − z + a)(−x + 2y − z + a)
(−x − y + 2z + a) = 27a
3 .
a) En notant P = x − y et Q = y − z, S admet pour équation :
1
P
+
1
Q
−
1
P + Q
= 0 , donc S est un cylindre.
6.3.18
6.3.19