On calcule le reste R de la division euclidienne de
X
4
+ bX
2
− X − q par X
3
− aX
2
− X − p :
R = (a
2 − b + 1)X
2 + (a + p − 1)X + ap − q.
La droite D rencontre Γ en trois points si et seulement si R = 0,
c'est-à-dire :
a
2
− b + 1 = 0
a + p − 1 = 0
ap − q = 0
, ce qui revient à
b = a
2
+ 1
p = −a + 1
q = −a
2
+ a.
Une EC de S est obtenue en éliminant a dans :
y = ax − a + 1
z = (a
2
+ 1)x − a
2
+ a.
Réponse : x
2
+ y
2
− xz − x − y + z = 0 .
z
2
− xy − 1 = 0
x + y − z = 0
⇒
z
2
− xy − 1 = 0
x
2
+ y
2
+ xy − 1 = 0
x + y − z = 0
⇒
x
2
+ y
2
+ z
2
− 2 = 0
x + y − z = 0
et réciproque du meme genre.
Dans un système d'équations cartésiennes d'une droite de E 3 ,
exprimer, de manière adaptée à l'exemple, deux des trois coordonnées en fonction de la troisième. Ainsi, une droite de E 3 ,
non parallèle au plan x Oy , admet un système d'équations cartésiennes
x = az + p
y = bz + q
, (a,b, p,q) ∈ R
4 .
Reporter dans l'équation de S et identifier.
Réponses :
a) Les six droites d'équations
x = 0
y = 0
,
x = 0
z = 0
,
y = 0
z = 0
,
x = −1
y = −z
,
y = −1
x = −z
,
z = −1
x = −y
.
b) Les deux droites d'équations
x = 0
y = 0
,
x = 0
z = 0
.
c) La famille de droites d'équations
y =
2
3
x +
b
2
3
z = bx
, b ∈ R,
et la droite d'équations
x = 0
z = 0
.
d) Les deux droites d'équations
x = 1
y = 0
,
x = −1
y = 0
.
a) Réponse : • M(u,v) est régulier si et seulement si u = v.
• 3(u
2
+ uv + v
2
)
X − (u + v)
−3(u + v)(Y − uv) −
Z − (u
3
+ v
3
)
= 0 ,
ou encore : 3(u
2
+ uv + v
2
)X − 3(u + v)Y − Z
−(2u
3
+ 3u
2
v + 3uv
2
+ 2v
3
) = 0 .
361
b) Réponse : • il y a exactement quatre points non réguliers,
correspondant à
(u,v) = (1,1) , (1,−1), (−1,1), (−1,−1).
• u(1 − v
2
)(u
2
− v
2
)
X −
u +
1
u
−v(1 − u
2
)(u
2
− v
2
)
Y −
v +
1
v
+uv(1 − u
2
)(1 − v
2
)
Z −
u
v
+
v
u
= 0.
Pour simplifier les calculs, on peut remarquer que S admet
la RP : φ : R×]0; +∞[−→ E 3
(t,θ) −→(t cos θ,t sin θ,t 2 )
.
On a, pour tout (t,θ) :
− →
∂φ
∂t
(t,θ) = (cos θ,sin θ,2t),
− →
∂φ
∂θ
(t,θ) = (−t sin θ,t cos θ,0),
et la famille
− →
∂φ
∂t
(t,θ),
− →
∂φ
∂θ
(t,θ)
est libre, donc tout point de
S est régulier.
Le plan tangent à S en M(t,θ) est parallèle à − → u (1,1,1) si et
seulement si
− →
∂φ
∂t
(t,θ),
− →
∂φ
∂θ
(t,θ), − → u
est liée, c'est-à-dire :
cos θ −t sin θ 1
sin θ
t cos θ
1
2t
0
1
= 0,
ou encore : 1 − 2t (cos θ + sin θ) = 0 .
Réponse : La courbe intersection de S avec le plan d'équation
x + y =
1
2
.
Une équation du plan tangent en un point M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) de S
est : x 0 x + y 0 y + 2z 0 z − 1 = 0 .
Ce plan est perpendiculaire à D si et seulement si :
x 0 =
y 0
3
= −z 0 .
On obtient x
2
0 =
1
12
.
Réponse : Les deux plans d'équations
x + 3y − 2z −2ε
√
3 = 0, ε ∈ {−1,1}.
Une équation du plan tangent en un point M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) de S
est :
y 0 x + x 0 y − 3z
2
0 z + x 0 y 0 = 0.
Ce plan contient D si et seulement s'il existe λ ∈ R ∗ tel que :
y 0
λ
= x 0 = z
2
0 = −
x 0 y 0
2λ + 3
.
En déduire z 0 = −1 ou z 0 = −2 .
6.3.11
6.3.12
6.3.13
6.3.9
6.3.8
6.3.10
X
4
+ bX
2
− X − q par X
3
− aX
2
− X − p :
R = (a
2 − b + 1)X
2 + (a + p − 1)X + ap − q.
La droite D rencontre Γ en trois points si et seulement si R = 0,
c'est-à-dire :
a
2
− b + 1 = 0
a + p − 1 = 0
ap − q = 0
, ce qui revient à
b = a
2
+ 1
p = −a + 1
q = −a
2
+ a.
Une EC de S est obtenue en éliminant a dans :
y = ax − a + 1
z = (a
2
+ 1)x − a
2
+ a.
Réponse : x
2
+ y
2
− xz − x − y + z = 0 .
z
2
− xy − 1 = 0
x + y − z = 0
⇒
z
2
− xy − 1 = 0
x
2
+ y
2
+ xy − 1 = 0
x + y − z = 0
⇒
x
2
+ y
2
+ z
2
− 2 = 0
x + y − z = 0
et réciproque du meme genre.
Dans un système d'équations cartésiennes d'une droite de E 3 ,
exprimer, de manière adaptée à l'exemple, deux des trois coordonnées en fonction de la troisième. Ainsi, une droite de E 3 ,
non parallèle au plan x Oy , admet un système d'équations cartésiennes
x = az + p
y = bz + q
, (a,b, p,q) ∈ R
4 .
Reporter dans l'équation de S et identifier.
Réponses :
a) Les six droites d'équations
x = 0
y = 0
,
x = 0
z = 0
,
y = 0
z = 0
,
x = −1
y = −z
,
y = −1
x = −z
,
z = −1
x = −y
.
b) Les deux droites d'équations
x = 0
y = 0
,
x = 0
z = 0
.
c) La famille de droites d'équations
y =
2
3
x +
b
2
3
z = bx
, b ∈ R,
et la droite d'équations
x = 0
z = 0
.
d) Les deux droites d'équations
x = 1
y = 0
,
x = −1
y = 0
.
a) Réponse : • M(u,v) est régulier si et seulement si u = v.
• 3(u
2
+ uv + v
2
)
X − (u + v)
−3(u + v)(Y − uv) −
Z − (u
3
+ v
3
)
= 0 ,
ou encore : 3(u
2
+ uv + v
2
)X − 3(u + v)Y − Z
−(2u
3
+ 3u
2
v + 3uv
2
+ 2v
3
) = 0 .
361
b) Réponse : • il y a exactement quatre points non réguliers,
correspondant à
(u,v) = (1,1) , (1,−1), (−1,1), (−1,−1).
• u(1 − v
2
)(u
2
− v
2
)
X −
u +
1
u
−v(1 − u
2
)(u
2
− v
2
)
Y −
v +
1
v
+uv(1 − u
2
)(1 − v
2
)
Z −
u
v
+
v
u
= 0.
Pour simplifier les calculs, on peut remarquer que S admet
la RP : φ : R×]0; +∞[−→ E 3
(t,θ) −→(t cos θ,t sin θ,t 2 )
.
On a, pour tout (t,θ) :
− →
∂φ
∂t
(t,θ) = (cos θ,sin θ,2t),
− →
∂φ
∂θ
(t,θ) = (−t sin θ,t cos θ,0),
et la famille
− →
∂φ
∂t
(t,θ),
− →
∂φ
∂θ
(t,θ)
est libre, donc tout point de
S est régulier.
Le plan tangent à S en M(t,θ) est parallèle à − → u (1,1,1) si et
seulement si
− →
∂φ
∂t
(t,θ),
− →
∂φ
∂θ
(t,θ), − → u
est liée, c'est-à-dire :
cos θ −t sin θ 1
sin θ
t cos θ
1
2t
0
1
= 0,
ou encore : 1 − 2t (cos θ + sin θ) = 0 .
Réponse : La courbe intersection de S avec le plan d'équation
x + y =
1
2
.
Une équation du plan tangent en un point M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) de S
est : x 0 x + y 0 y + 2z 0 z − 1 = 0 .
Ce plan est perpendiculaire à D si et seulement si :
x 0 =
y 0
3
= −z 0 .
On obtient x
2
0 =
1
12
.
Réponse : Les deux plans d'équations
x + 3y − 2z −2ε
√
3 = 0, ε ∈ {−1,1}.
Une équation du plan tangent en un point M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) de S
est :
y 0 x + x 0 y − 3z
2
0 z + x 0 y 0 = 0.
Ce plan contient D si et seulement s'il existe λ ∈ R ∗ tel que :
y 0
λ
= x 0 = z
2
0 = −
x 0 y 0
2λ + 3
.
En déduire z 0 = −1 ou z 0 = −2 .
6.3.11
6.3.12
6.3.13
6.3.9
6.3.8
6.3.10