Cependant, l'équation obtenue se ramène à
P
2
+ P Q +Q
2
= 0,
c'est-à-dire P = Q = 0 .
Réponse : S = ∅.
b) En notant P = x − y et Q = y − z, S admet pour équation :
1
P
+
1
Q
−
1
P + Q
= 1 ,
donc S est un cylindre, et les génératrices de S sont parallèles
à la droite
P = 0
Q = 0
, c'est-à-dire dirigées par − → u (1,1,1) .
Une section droite deS est obtenue en coupant S par un plan
orthogonal à − → u . À cet effet, faisons un changement de r.o.n.d.
de façon que − → u dirige le 3
`
eme axe de coordonnées.
En notant
− →
K =
1
√
3
(
− →
i +
− →
j +
− →
k ),
− →
I =
1
√
2
(
− →
i −
− →
j ) ,
− →
J =
− →
K ∧
− →
I =
1
√
6
(
− →
i +
− →
j − 2
− →
k ) ,
le repère R = (O;
− →
I ,
− →
J ,
− →
K ) est orthonormé direct. Les formules de changement de repère sont, pour un point M de coordonnées (x,y,z) dans R et (X,Y,Z ) dans R :
x
y
z
=
1
√
2
1
√
6
1
√
3
−
1
√
2
1
√
6
1
√
3
0
−
2
√
6
1
√
3
X
Y
Z
.
On en déduit une EC de S dans R , après calculs :
X (X
2 − 3Y
2 )
√
2 + 3(X
2 + Y
2 ) = 0.
La courbe Γ, intersection de S avec le plan Z = 0 , est une cubique (courbe algébrique de degré 3) ; en coupant Γ par des
droites d'équation Y = t X, t ∈ R , on obtient une RP de Γ :
X =
3
√
2
1 + t
2
3t 2 − 1
, Y =
3
√
2
t (1 + t
2
)
3t 2 − 1
, Z = 0.
Réponse : • S est un cylindre à génératrices parallèles à
− → u (1,1,1)
• Une section droite de S est la courbe d'équations
X (X
2 − 3Y
2 )
√
2 + 3(X
2 + Y
2 ) = 0, Z = 0,
dans le r.o.n.d. défini plus haut.
c) En notant P = x − y et Q = y − z, S admet pour équation :
2 P + 2 Q − 2 −P−Q − 1 = 0,
donc S est un cylindre, et les génératrices de S sont dirigées
par − → u (1,1,1) .
Une directrice Γ de S (non nécessairement une section droite)
est obtenue en coupant S par un plan non parallèle à − → u , par
exemple le plan x Oy .
363
Réponse : S est un cylindre, à génératrices parallèles à
− → u (1,1,1) et de directrice
Γ
2 x−y + 2 y − 2 −x − 1 = 0
z = 0.
a) Réponse : S 1 et S 2 sont des cylindres (elliptiques) de directions respectives z z , y y .
b)
x
2
a 2 +
y
2
b 2 − 1 = 0
x
2
a 2 +
z
2
c 2 − 1 = 0
⇐⇒
x
2
a 2 +
y
2
b 2 = 1
y
2
b 2 =
z
2
c 2 .
6.3.20
z
y
O
S 1
S 2
x
Réponse : S 1 ∩ S 2 est la réunion des deux ellipses d'EC :
x
2
a 2 +
y
2
b 2 = 1
z = ε
c
b
y
, ε ∈ {−1,1}.
c) Par raison de symétries, les axes des deux ellipses précédentes
ont pour EC : x = 0 ou y = 0, z = ε
c
b
y ,
x
2
a 2 +
y
2
b 2 = 1, c'est-à-dire :
x = 0
y = ±b
z = ±εc
,
x = ±a
y = 0
z = 0
.
On en déduit les longueurs des demi-axes :
√
b 2 + c 2 et a.
Réponse : a
2
= b
2
+ c
2 .
a)
M(x,y,z) ∈ S ⇐⇒ (∃λ ∈ R, ∃m ∈ Γ,
− − →
Ω M = λ
−→
Ωm)
⇐⇒
∃(λ,t) ∈ R
2
, x = λt, y = λt
2
,z = λt
3
.
Réponse :
y
2
− xy = 0 (privée de (x x − {O}) ∪ (z z − {O})).
b)
M(X,Y,Z ) ∈ S ⇐⇒ (∃λ ∈ R, ∃m ∈ Γ,
− − →
Ω M = λ
−→
Ωm)
⇐⇒
∃(λ,x,y,z) ∈ R
4
, (X − 1 = λ(x − 1),
Y + 1 = λ(y + 1), Z = λz, y + z = 1, x
2
+ y
2
= z)
.
6.3.21
P
2
+ P Q +Q
2
= 0,
c'est-à-dire P = Q = 0 .
Réponse : S = ∅.
b) En notant P = x − y et Q = y − z, S admet pour équation :
1
P
+
1
Q
−
1
P + Q
= 1 ,
donc S est un cylindre, et les génératrices de S sont parallèles
à la droite
P = 0
Q = 0
, c'est-à-dire dirigées par − → u (1,1,1) .
Une section droite deS est obtenue en coupant S par un plan
orthogonal à − → u . À cet effet, faisons un changement de r.o.n.d.
de façon que − → u dirige le 3
`
eme axe de coordonnées.
En notant
− →
K =
1
√
3
(
− →
i +
− →
j +
− →
k ),
− →
I =
1
√
2
(
− →
i −
− →
j ) ,
− →
J =
− →
K ∧
− →
I =
1
√
6
(
− →
i +
− →
j − 2
− →
k ) ,
le repère R = (O;
− →
I ,
− →
J ,
− →
K ) est orthonormé direct. Les formules de changement de repère sont, pour un point M de coordonnées (x,y,z) dans R et (X,Y,Z ) dans R :
x
y
z
=
1
√
2
1
√
6
1
√
3
−
1
√
2
1
√
6
1
√
3
0
−
2
√
6
1
√
3
X
Y
Z
.
On en déduit une EC de S dans R , après calculs :
X (X
2 − 3Y
2 )
√
2 + 3(X
2 + Y
2 ) = 0.
La courbe Γ, intersection de S avec le plan Z = 0 , est une cubique (courbe algébrique de degré 3) ; en coupant Γ par des
droites d'équation Y = t X, t ∈ R , on obtient une RP de Γ :
X =
3
√
2
1 + t
2
3t 2 − 1
, Y =
3
√
2
t (1 + t
2
)
3t 2 − 1
, Z = 0.
Réponse : • S est un cylindre à génératrices parallèles à
− → u (1,1,1)
• Une section droite de S est la courbe d'équations
X (X
2 − 3Y
2 )
√
2 + 3(X
2 + Y
2 ) = 0, Z = 0,
dans le r.o.n.d. défini plus haut.
c) En notant P = x − y et Q = y − z, S admet pour équation :
2 P + 2 Q − 2 −P−Q − 1 = 0,
donc S est un cylindre, et les génératrices de S sont dirigées
par − → u (1,1,1) .
Une directrice Γ de S (non nécessairement une section droite)
est obtenue en coupant S par un plan non parallèle à − → u , par
exemple le plan x Oy .
363
Réponse : S est un cylindre, à génératrices parallèles à
− → u (1,1,1) et de directrice
Γ
2 x−y + 2 y − 2 −x − 1 = 0
z = 0.
a) Réponse : S 1 et S 2 sont des cylindres (elliptiques) de directions respectives z z , y y .
b)
x
2
a 2 +
y
2
b 2 − 1 = 0
x
2
a 2 +
z
2
c 2 − 1 = 0
⇐⇒
x
2
a 2 +
y
2
b 2 = 1
y
2
b 2 =
z
2
c 2 .
6.3.20
z
y
O
S 1
S 2
x
Réponse : S 1 ∩ S 2 est la réunion des deux ellipses d'EC :
x
2
a 2 +
y
2
b 2 = 1
z = ε
c
b
y
, ε ∈ {−1,1}.
c) Par raison de symétries, les axes des deux ellipses précédentes
ont pour EC : x = 0 ou y = 0, z = ε
c
b
y ,
x
2
a 2 +
y
2
b 2 = 1, c'est-à-dire :
x = 0
y = ±b
z = ±εc
,
x = ±a
y = 0
z = 0
.
On en déduit les longueurs des demi-axes :
√
b 2 + c 2 et a.
Réponse : a
2
= b
2
+ c
2 .
a)
M(x,y,z) ∈ S ⇐⇒ (∃λ ∈ R, ∃m ∈ Γ,
− − →
Ω M = λ
−→
Ωm)
⇐⇒
∃(λ,t) ∈ R
2
, x = λt, y = λt
2
,z = λt
3
.
Réponse :
y
2
− xy = 0 (privée de (x x − {O}) ∪ (z z − {O})).
b)
M(X,Y,Z ) ∈ S ⇐⇒ (∃λ ∈ R, ∃m ∈ Γ,
− − →
Ω M = λ
−→
Ωm)
⇐⇒
∃(λ,x,y,z) ∈ R
4
, (X − 1 = λ(x − 1),
Y + 1 = λ(y + 1), Z = λz, y + z = 1, x
2
+ y
2
= z)
.
6.3.21