358
i) En notant − → u = cos θ
− →
i + sin θ
− →
j
et − → v = −sin θ
− →
i + cos θ
− →
j ,
on obtient
− →
N =
1
√
1 + λ 2
(− − → u + λ − → v ), tan V =
1
λ
d'où dϕ = dθ, R = a
√
1 + λ 2 e λθ .
Ainsi :
−→
OC =
− − →
O M + R
− →
N = aλe
λθ − → v
= λe
− λπ
2 ρ
θ +
π
2
− → u
θ +
π
2
.
Choisissons un repère orthonormé direct pour lequel la direction fixe soit celle de x x. La courbe Γ est l'enveloppe de la famille de droites (D θ ) : x cos θ + y sin θ = p(θ), d'où les coordonnées de M :
x M = p(θ)cos θ − p
(θ)sin θ,
y M = p(θ)sin θ + p
(θ)cos θ.
La développée C de Γ est l'enveloppe de la famille de droites
(D
θ ) : −x sin θ + y cos θ = p (θ) , et le point C 2 est le point
caractéristique de l'enveloppe de la famille de droites (D
θ ) :
x cos θ + y sin θ = −p (θ) , d'où les coordonnées de C 2 :
x C 2 = −p
(θ)cos θ − p
(3) (θ)sin θ,
y C 2 = −p
(θ)sin θ − p
(3) (θ)cos θ.
La condition y M = y C 2 se traduit par l'équation différentielle
q(θ)sin θ + q (θ)cos θ = 0 , où q = p + p . La solution
générale (sur un intervalle où cos ne s'annule pas)
est
q : θ −→ 2λ cos θ (λ ∈ R) ;
en déduire p :
p(θ) = A cos θ + B sin θ + λθ sin θ.
Calculer enfin x M et y M :
x M = A −
λ
2
(1 − cos 2θ), y M = B +
λ
2
(2θ + sin 2θ).
Réponse : Γ est une cycloïde.
En paramétrant C par :
x = R cos t , y = R sin t,
on obtient :
s (t) = R,
− →
T = −sin t
− →
i + cos t
− →
j ,
d'où une représentation paramétrique des développantes
de C.
Réponse :
X = R cos t − (s 0 − Rt)sin t
Y = R sin t + (s 0 − Rt)cos t
, s 0 ∈ R fixé.
y
x
O
C
M
Γ
C
Réponse : La développée de la spirale logarithmique Γ d'équation polaire ρ = ae λθ est la spirale logarithmique C déduite
de Γ par la similitude directe de centre O , d'angle
π
2
, de rapport λe
− λπ
2 , ou encore, dans l'homothétie de centre O et de rapport λ.
• Développée C 1 de C 0 :
s (t) = 2 ch t,
− →
T = cos t
− →
i + sin t
− →
j ,
− →
N = −sin t
− →
i + cos t
− →
j , dϕ = dt , R = 2ch t ;
le centre de courbure C 1 de C 0 en M a pour coordonnées
X 1 = cos t sh t − sin t ch t, Y 1 = sin t sh t + cos t ch t.
• Développée C 2 de C 1 :
s (t) = 2ε sh t où ε = sgn(t),
− →
N = −ε(cos t
− →
i + sin t
− →
j ) , dϕ = dt , R = 2ε sh t ;
le centre de courbure C 2 de C 1 en C 1 a pour coordonnées
X 2 = −(sin t ch t + cos t sh t) ,
Y 2 = −sin t sh t + cos t ch t .
Réponse : En notant (C n ) n∈N la suite des développées sucessives de C 0 , on a, pour tout p ∈ N :
C 4 p = C 0 :
x = sin t ch t + cos t sh t
y = sin t sh t − cos t ch t
C 4 p+1 = C 1 :
x = cos t sh t − sin t ch t
y = sin t sh t + cos t ch t
.
C 4 p+2 est la symétrique de C 4 p par rapport à y
y
C 4 p+3 est la symétrique de C 4 p+1 par rapport à y
y.
Remarque : On peut aussi passer par les complexes.
6.1.20
6.1.21
6.1.22
y
x
O
s 0 = 0
C
a) • On a :
x (t) = 6 sh t ch t
y (t) = 6 sh
2 ch t
, d'où s (t) = 6 sh t ch
2 t, puis
en intégrant (et s(0) = 2 par exemple) :
s(t) = 2 ch
3 t.
• Les développantes de C ont pour RP :
X = x + (λ − s)
x
s =
λ
ch t
+ ch
2 t − 3
Y = y + (λ − s)
y
s = λ th t − 2 sh t.
6.1.23
i) En notant − → u = cos θ
− →
i + sin θ
− →
j
et − → v = −sin θ
− →
i + cos θ
− →
j ,
on obtient
− →
N =
1
√
1 + λ 2
(− − → u + λ − → v ), tan V =
1
λ
d'où dϕ = dθ, R = a
√
1 + λ 2 e λθ .
Ainsi :
−→
OC =
− − →
O M + R
− →
N = aλe
λθ − → v
= λe
− λπ
2 ρ
θ +
π
2
− → u
θ +
π
2
.
Choisissons un repère orthonormé direct pour lequel la direction fixe soit celle de x x. La courbe Γ est l'enveloppe de la famille de droites (D θ ) : x cos θ + y sin θ = p(θ), d'où les coordonnées de M :
x M = p(θ)cos θ − p
(θ)sin θ,
y M = p(θ)sin θ + p
(θ)cos θ.
La développée C de Γ est l'enveloppe de la famille de droites
(D
θ ) : −x sin θ + y cos θ = p (θ) , et le point C 2 est le point
caractéristique de l'enveloppe de la famille de droites (D
θ ) :
x cos θ + y sin θ = −p (θ) , d'où les coordonnées de C 2 :
x C 2 = −p
(θ)cos θ − p
(3) (θ)sin θ,
y C 2 = −p
(θ)sin θ − p
(3) (θ)cos θ.
La condition y M = y C 2 se traduit par l'équation différentielle
q(θ)sin θ + q (θ)cos θ = 0 , où q = p + p . La solution
générale (sur un intervalle où cos ne s'annule pas)
est
q : θ −→ 2λ cos θ (λ ∈ R) ;
en déduire p :
p(θ) = A cos θ + B sin θ + λθ sin θ.
Calculer enfin x M et y M :
x M = A −
λ
2
(1 − cos 2θ), y M = B +
λ
2
(2θ + sin 2θ).
Réponse : Γ est une cycloïde.
En paramétrant C par :
x = R cos t , y = R sin t,
on obtient :
s (t) = R,
− →
T = −sin t
− →
i + cos t
− →
j ,
d'où une représentation paramétrique des développantes
de C.
Réponse :
X = R cos t − (s 0 − Rt)sin t
Y = R sin t + (s 0 − Rt)cos t
, s 0 ∈ R fixé.
y
x
O
C
M
Γ
C
Réponse : La développée de la spirale logarithmique Γ d'équation polaire ρ = ae λθ est la spirale logarithmique C déduite
de Γ par la similitude directe de centre O , d'angle
π
2
, de rapport λe
− λπ
2 , ou encore, dans l'homothétie de centre O et de rapport λ.
• Développée C 1 de C 0 :
s (t) = 2 ch t,
− →
T = cos t
− →
i + sin t
− →
j ,
− →
N = −sin t
− →
i + cos t
− →
j , dϕ = dt , R = 2ch t ;
le centre de courbure C 1 de C 0 en M a pour coordonnées
X 1 = cos t sh t − sin t ch t, Y 1 = sin t sh t + cos t ch t.
• Développée C 2 de C 1 :
s (t) = 2ε sh t où ε = sgn(t),
− →
N = −ε(cos t
− →
i + sin t
− →
j ) , dϕ = dt , R = 2ε sh t ;
le centre de courbure C 2 de C 1 en C 1 a pour coordonnées
X 2 = −(sin t ch t + cos t sh t) ,
Y 2 = −sin t sh t + cos t ch t .
Réponse : En notant (C n ) n∈N la suite des développées sucessives de C 0 , on a, pour tout p ∈ N :
C 4 p = C 0 :
x = sin t ch t + cos t sh t
y = sin t sh t − cos t ch t
C 4 p+1 = C 1 :
x = cos t sh t − sin t ch t
y = sin t sh t + cos t ch t
.
C 4 p+2 est la symétrique de C 4 p par rapport à y
y
C 4 p+3 est la symétrique de C 4 p+1 par rapport à y
y.
Remarque : On peut aussi passer par les complexes.
6.1.20
6.1.21
6.1.22
y
x
O
s 0 = 0
C
a) • On a :
x (t) = 6 sh t ch t
y (t) = 6 sh
2 ch t
, d'où s (t) = 6 sh t ch
2 t, puis
en intégrant (et s(0) = 2 par exemple) :
s(t) = 2 ch
3 t.
• Les développantes de C ont pour RP :
X = x + (λ − s)
x
s =
λ
ch t
+ ch
2 t − 3
Y = y + (λ − s)
y
s = λ th t − 2 sh t.
6.1.23