=
√
cos 2θ
−
sin 2θ
√
cos 2θ
− − →
u(θ) +
√
cos 2θ
− − →
v(θ)
= −sin 2θ
− − →
u(θ) + cos 2θ
− − →
v(θ) =
−−−−−−−→
u
3θ +
π
2
,
ϕ ≡ 3θ +
π
2
[2π],
− →
N =
− −−−−−→
u(3θ + π) = −
− −− →
u(3θ)
• dϕ = 3 dθ, R =
ds
dϕ
=
ds
dθ
dθ
dϕ
=
1
3
√
cos 2θ
•
−→
OC =
− − →
O M +
−→
R N
=
√
cos 2θ
− − →
u(θ) −
1
3
√
cos 2θ
− −− →
u(3θ),
d'où les coordonnées (X,Y ) de C dans (O;
− →
i ,
− →
j ) :
X =
√
cos 2θ cos 2θ −
cos 3θ
3
√
cos 2θ
=
3 cos 2θ cos θ − cos 3θ
3
√
cos 2θ
=
2 cos
3
θ
3
√
cos 2θ
Y =
√
cos 2θ sin θ −
sin 3θ
3
√
cos 2θ
=
3 cos 2θ sin θ − sin 3θ
3
√
cos 2θ
= −
2 sin
3
θ
3
√
cos 2θ
.
357
Enfin : R =
ds
dϕ
= −
4εpq
p + q
sin
1
p
−
1
q
t
2
.
On en déduit l'affixe ζ du centre de courbure :
ζ = z + Rεie
i( 1
p + 1
q ) t
2 ,
et finalement ζ =
p − q
p + q
pe
i t
p + qe
i t
q
.
Réponse : Une représentation paramétrique de C est :
x =
p − q
p + q
p cos
t
p
+ q cos
t
q
,
y =
p − q
p + q
p sin
t
p
+ q sin
t
q
.
h)
s (θ)
2 =
ρ(θ)
2 +
ρ (θ)
2 = 4a
2 cos
2
θ
2
,
d'où s (θ) = 2εa cos
θ
2
, où ε = sgn
cos
θ
2
.
En notant − → u = cos θ
− →
i + sin θ
− →
j et − → v = Rot π
2
( − → u ), on a :
− − →
O M = ρ − → u ,
− →
dM
dθ
= ρ − → u + ρ − → v ,
d'où
− →
T = ε
−sin
θ
2
− → u + cos
θ
2
− → v
,
− →
N = −ε
cos
θ
2
− → u + sin
θ
2
− → v
.
D'autre part, tan V =
ρ
ρ = −cotan
θ
2
, ϕ =
π
2
+
3θ
2
[π],
donc dϕ =
3
2
dθ, R =
4a
3
cos
θ
2
. On déduit :
−→
OC =
− − →
O M + R
− →
N =
a
3
(1 + cos θ) − → u −
2a
3
sin θ − → v
=
2a
3
− →
i +
a
3
cos θ(1 − cos θ)
− →
i
+
a
3
sin θ(1 − cos θ)
− →
j .
y
x
O
Γ
1
C
2
3
y
x
O
ϕ
θ
C
M
C
2a
2a
3
Γ
Réponse : La développée C de Γ admet la RP :

   
   
x =
2 cos
3
θ
3
√
cos 2θ
y = −
2 sin
3
θ
3
√
cos 2θ
.
g) Passer par les complexes : z = x + iy = pe
i t
p − qe
i t
q , d'où
dz
dt
= i
e
i t
p − e
i t
q
=
− 2 sin
1
p
−
1
q
t
2
e
i( 1
p + 1
q ) t
2 .
Ceci montre :
dϕ
dt
=
1
2
1
p
+
1
q
et
ds
dt
= −2ε sin
1
p
−
1
q
t
2
,
où ε = sgn
−2 sin
1
p
−
1
q
t
2
.
Les vecteurs
− →
T et
− →
N ont pour affixes respectives :
εe
i( 1
p + 1
q ) t
2 , iεe
i( 1
p + 1
q ) t
2 .
Réponse : La développée de la cardioïde Γ d'équation polaire
ρ = a(1 + cos θ) est la cardioïde C d'équation polaire
ρ =
a
3
(1 − cos θ) dans le repère (A;
− →
i ,
− →
j ) où A a pour
coordonnées
2a
3
,0
dans le repère (O;
− →
i ,
− →
j ). Ainsi
C = t ◦ h(Γ ) où h est l'homothétie de centre O et de rapport
−
1
3
, et t est la translation de vecteur
2a
3
− →
i .