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b) x (t) = a(1 − cos t) , y (t) = a sin t,
s (t) = 2a
sin
t
2
;
− →
T = ε(t)
sin
t
2
− →
i + cos
t
2
− →
j
,
− →
N = ε(t)
−cos
t
2
− →
i + sin
t
2
− →
j
,
où ε(t) = sgn
sin
t
2
;
tan ϕ = cotan
t
2
, dϕ = −
1
2
dt, R = −4a
sin
t
2
.
On déduit les coordonnées de C :

    
    
X = a(t − sin t) + 4a
sin
t
2
ε(t) cos
t
2
= a(t + sin t)
X = a(1 − cos t) − 4a
sin
t
2
ε(t) sin
t
2
= −a(1 − cos t).
Prendre pour nouvelle origine Ω(πa,−2a), et pour nouveau
paramètre u = π − t.
Réponse :
C est la cycloïde translatée de Γ par πa
− →
i − 2a
− →
j .
d) s (t) = |3 cos
2 t − 1|, R = |3 cos
2 t − 1| ,
− →
T = ε(t)(−sin t
− →
i + cos t
− →
j ),
où ε(t) = sgn(3 cos
2 t − 1).
Réponse : La développée C de Γ est l'astroïde représentée paramétriquement par :
x = 2 sin
3 t, y = 2 cos
3 t .
y
x
O
Γ
Ω
2a
M
C
πa
y
x
O
Γ
2
C
M
y
x
O
Γ
1
a
C
a
y
x
Γ
C
C
M
a
b
c) M(εa ch t,b sh t), ε ∈ {−1,1} ;
s (t) =
a 2 sh
2 t + b 2 ch
2 t , tan ϕ = ε
b
a
coth t ,
ϕ (t) = −
εab
a 2 sh
2 t + b 2 ch
2 t
,
R = −
(a
2 sh
2 t + b
2 ch
2 t)
3/2
εab
,
− →
T =
1
a 2 sh
2 t + b 2 ch
2 t
(εa sh t
− →
i + b ch t
− →
j ),
− →
N =
1
a 2 sh
2 t + b 2 ch
2 t
(−b ch t
− →
i + εa sh t
− →
j ) .
Réponse : Une représentation paramétrique de C est :
X = ε
a
2
+ b
2
a
ch
3 t, Y = −
a
2
+ b
2
b
sh
3 t, ε ∈ {−1,1}
e) • x = −3a cos
2 t sin t , y = 3a sin
2 t cos t ,
s = 3a sin t cos t (pour 0 t
π
2
)
• tan ϕ =
y
x = −tan t, ϕ ≡ −t [π], dϕ = −dt
• R =
ds
dϕ
= −3a cos t sin t
•
− →
T = −cos t
− →
i + sin t
− →
j ,
− →
N = −sin t
− →
i − cos t
− →
j
• C :
X = a cos
3 t + 3a cos t sin
2 t
Y = a sin
3 t + 3a cos
2 t sin t.
En prenant comme nouveau r.o.n.d.
O;
1
√
2
(
− →
i +
− →
j ),
1
√
2
(−
− →
i +
− →
j )
, obtenu par rotation
de
π
4
, C admet comme RP, avec u = t −
π
4
:
X = 2a cos
3 u , Y = 2a sin
3 u.
Réponse : C est l'astroïde obtenue à partir de Γ par la similitude de centre O , de rapport 2, d'angle
π
4
.
f) • ρ =
√
cos 2θ , ρ = −
sin 2θ
√
cos 2θ
,
s 2 = ρ
2
+ ρ 2 =
1
cos 2θ
, s =
1
√
cos 2θ
•
− →
T =
− →
dM
ds
=
dθ
ds
d
dθ
ρ(θ)
− − →
u(θ)
=
√
cos 2θ
ρ (θ)
− − →
u(θ) + ρ(θ)
− − →
v(θ)