Réponse : Les développantes de C sont les courbes (Γ λ ) λ∈R
de RP :
x =
λ
ch t
+ ch
2 t − 3
y = λ th t − 2 sh t
, t ∈ R.
b) Γ λ passe par A(−2,0) si et seulement s'il existe t ∈ R tel
que :
λ
ch t
+ ch
2 t − 1 = 0
λ th t − 2 sh t = 0.
Si t = 0, on déduit λ = 2 ch t, puis 1 + ch
2 t = 0 , contradiction.
Pour t = 0, on obtient λ = 0.
Ainsi, la courbe cherchée est Γ 0 :
x = ch
2 t − 3
y = −2 sh t
.
L'élimination de sh t (qui décrit R ) permet d'obtenir une EC
de Γ 0 : y
2
= 4(x + 2) .
On retrouve ainsi le résultat de 4.2.3 Exemple p. 253.
Réponse : Il existe une développante et une seule de C passant par A(−2,0) ; il s'agit de la parabole d'équation cartésienne :
y
2
= 4(x + 2) .
Puisque R 2 [X] est un R -ev de dimension 3, la famille
(P,Q,R,1 + X
2
) , qui a 4 éléments, est liée. Il existe donc
(a,b,c,d) ∈ R
4
− {(0,0,0,0)} tel que :
a P + bQ + cR + d(1 + X
2 ) = 0.
De plus, (a,b,c) = (0,0,0), car 1 + X
2
= 0 .
On a alors, pour tout t de R :
a x(t) + b y(t) + c z(t) + d = 0,
ce qui montre que Γ est plane, dans le plan d'EC
ax + by + cz + d = 0 .
Notons − → c = ch a
− →
i + ch b
− →
j + ch c
− →
k ,
− → s = sh a
− →
i + sh b
− →
j + sh c
− →
k .
On a, pour tout point M(t) de Γ :
− −−− →
O M(t) = ch t − → c + sh t − → s ,
donc Γ est plane, dans le plan (ou la droite) défini(e) par
(O; − → c , − → s ). Il est clair que ( − → c , − → s ) est liée si et seulement
si a = b = c.
• Si a = b = c, alors, pour tout t de R :
− −−− →
O M(t) = ch(t + a)(
− →
i +
− →
j +
− →
k ).
• Sinon, ( − → c , − → s ) est libre, et Γ admet pour RP, dans le plan
(O; − → c , − → s ) : X = ch t, Y = sh t, t ∈ R .
Réponse : • Si a = b = c, alors Γ est la demi-droite d'origine
(1,1,1) dirigée et orientée par
− →
i +
− →
j +
− →
k
• Sinon, Γ est une demi-hyperbole.
359
Soustraire les deux équations, puis factoriser.
Réponse : Γ est la réunion des deux ellipses :
x
2
+ xy + y
2
−
y
4
= 0
y = z
,
x
2
+ xy + y
2
+
y
4
+
1
16
= 0
y + z +
1
4
= 0.
Une droite parallèle à yOz ne coupe Γ qu'en un seul
point ; on peut donc supposer que ∆ admet un système d'équations
y = ax + p
z = bx + q
, (a,b, p,q) ∈ R
4 .
• ∆ ∩ D = ∅ se traduit par (1 − b) p = (1 − a)q .
• ∆ coupe Γ en deux points disctincts si et seulement si les polynômes X
2
− aX − p et X
3
− bX − q admettent deux zéros
réels distincts communs. En utilisant une division euclidienne,
on obtient :
a
2
+ p − b = 0, ap − b = 0 , a
2
+ 4 p > 0 .
• Eliminer (a,b, p,q) dans :
(1 − b) p = (1 − a)q , ( p,q) = (0,0) , a
2
+ p − b = 0 ,
ap − b = 0 , a
2
+ 4 p > 0 .
Réponse : x
2
+ y
2
− xy − xz − y + z = 0.
a) Soit P un plan, d'équation Ax + By + Cz + D = 0 .
L'équation aux t de P ∩ C est :
At
4
+ Bt
3
+ Ct
2
+ Bt + D = 0.
Eliminer (A,B,C,D) dans :
Aσ 1 = −B , Aσ 2 = C, Aσ 3 = −B , Aσ 4 = D .
Réponse : σ 1 = σ 3 .
b) α) et β) Avec t 1 = t 2 noté u, et t 3 = t 4 noté v, la condition
précédente se traduit par :
S = 0 ou P = 1.
• Pour S = 0 (c'est-à-dire v = −u), le plan bitangent a pour
équation x − 2u
2 z + u
4
= 0 ; il est parallèle à y y .
• Pour P = 1 (et S
2
4), le plan bitangent a pour équation :
x − 2Sy + (S
2
+ 2)z + 1 = 0 ; il passe par le point fixe de coordonnées (−1,0,0) .
γ ) • Pour S = 0, la corde qui joint M(u) et M(−u) a pour équations
x = u
4
z = u
2
.
• Pour P = 1 , la corde qui joint M(u) et M
1
u
a
pour milieu le point
1
2
(S
4 − 4S
2 + 2),
1
2
(S
3 − 2S),
1
2
(S
2 − 2)
6.2.1
6.2.2
6.2.3
6.2.4
6.2.5
de RP :
x =
λ
ch t
+ ch
2 t − 3
y = λ th t − 2 sh t
, t ∈ R.
b) Γ λ passe par A(−2,0) si et seulement s'il existe t ∈ R tel
que :
λ
ch t
+ ch
2 t − 1 = 0
λ th t − 2 sh t = 0.
Si t = 0, on déduit λ = 2 ch t, puis 1 + ch
2 t = 0 , contradiction.
Pour t = 0, on obtient λ = 0.
Ainsi, la courbe cherchée est Γ 0 :
x = ch
2 t − 3
y = −2 sh t
.
L'élimination de sh t (qui décrit R ) permet d'obtenir une EC
de Γ 0 : y
2
= 4(x + 2) .
On retrouve ainsi le résultat de 4.2.3 Exemple p. 253.
Réponse : Il existe une développante et une seule de C passant par A(−2,0) ; il s'agit de la parabole d'équation cartésienne :
y
2
= 4(x + 2) .
Puisque R 2 [X] est un R -ev de dimension 3, la famille
(P,Q,R,1 + X
2
) , qui a 4 éléments, est liée. Il existe donc
(a,b,c,d) ∈ R
4
− {(0,0,0,0)} tel que :
a P + bQ + cR + d(1 + X
2 ) = 0.
De plus, (a,b,c) = (0,0,0), car 1 + X
2
= 0 .
On a alors, pour tout t de R :
a x(t) + b y(t) + c z(t) + d = 0,
ce qui montre que Γ est plane, dans le plan d'EC
ax + by + cz + d = 0 .
Notons − → c = ch a
− →
i + ch b
− →
j + ch c
− →
k ,
− → s = sh a
− →
i + sh b
− →
j + sh c
− →
k .
On a, pour tout point M(t) de Γ :
− −−− →
O M(t) = ch t − → c + sh t − → s ,
donc Γ est plane, dans le plan (ou la droite) défini(e) par
(O; − → c , − → s ). Il est clair que ( − → c , − → s ) est liée si et seulement
si a = b = c.
• Si a = b = c, alors, pour tout t de R :
− −−− →
O M(t) = ch(t + a)(
− →
i +
− →
j +
− →
k ).
• Sinon, ( − → c , − → s ) est libre, et Γ admet pour RP, dans le plan
(O; − → c , − → s ) : X = ch t, Y = sh t, t ∈ R .
Réponse : • Si a = b = c, alors Γ est la demi-droite d'origine
(1,1,1) dirigée et orientée par
− →
i +
− →
j +
− →
k
• Sinon, Γ est une demi-hyperbole.
359
Soustraire les deux équations, puis factoriser.
Réponse : Γ est la réunion des deux ellipses :
x
2
+ xy + y
2
−
y
4
= 0
y = z
,
x
2
+ xy + y
2
+
y
4
+
1
16
= 0
y + z +
1
4
= 0.
Une droite parallèle à yOz ne coupe Γ qu'en un seul
point ; on peut donc supposer que ∆ admet un système d'équations
y = ax + p
z = bx + q
, (a,b, p,q) ∈ R
4 .
• ∆ ∩ D = ∅ se traduit par (1 − b) p = (1 − a)q .
• ∆ coupe Γ en deux points disctincts si et seulement si les polynômes X
2
− aX − p et X
3
− bX − q admettent deux zéros
réels distincts communs. En utilisant une division euclidienne,
on obtient :
a
2
+ p − b = 0, ap − b = 0 , a
2
+ 4 p > 0 .
• Eliminer (a,b, p,q) dans :
(1 − b) p = (1 − a)q , ( p,q) = (0,0) , a
2
+ p − b = 0 ,
ap − b = 0 , a
2
+ 4 p > 0 .
Réponse : x
2
+ y
2
− xy − xz − y + z = 0.
a) Soit P un plan, d'équation Ax + By + Cz + D = 0 .
L'équation aux t de P ∩ C est :
At
4
+ Bt
3
+ Ct
2
+ Bt + D = 0.
Eliminer (A,B,C,D) dans :
Aσ 1 = −B , Aσ 2 = C, Aσ 3 = −B , Aσ 4 = D .
Réponse : σ 1 = σ 3 .
b) α) et β) Avec t 1 = t 2 noté u, et t 3 = t 4 noté v, la condition
précédente se traduit par :
S = 0 ou P = 1.
• Pour S = 0 (c'est-à-dire v = −u), le plan bitangent a pour
équation x − 2u
2 z + u
4
= 0 ; il est parallèle à y y .
• Pour P = 1 (et S
2
4), le plan bitangent a pour équation :
x − 2Sy + (S
2
+ 2)z + 1 = 0 ; il passe par le point fixe de coordonnées (−1,0,0) .
γ ) • Pour S = 0, la corde qui joint M(u) et M(−u) a pour équations
x = u
4
z = u
2
.
• Pour P = 1 , la corde qui joint M(u) et M
1
u
a
pour milieu le point
1
2
(S
4 − 4S
2 + 2),
1
2
(S
3 − 2S),
1
2
(S
2 − 2)
6.2.1
6.2.2
6.2.3
6.2.4
6.2.5