354
Ainsi, R =
8
7
, puis
− →
AC = R
− →
N , d'où, comme
− →
N = −
− →
i ,
− →
AC = −
8
7
− →
i .
Réponse : C
−
1
7
,0
.
Le point O est point multiple de Γ, obtenu pour θ = 0,
π
2
, π
(et, par symétrie par rapport à y y , pour θ = −π, −
π
2
) ; les
tangentes sont respectivement x x, y y , x x.
On a donc :
R 0 = lim
θ→0
x
2
2y
, R π
2
= lim
θ→ π
2
−
y
2
2x
, R π = lim
θ→π
x
2
2y
.
1) Au voisinage de θ = 0 :
ρ =
sin 2θ
2 cos θ − 1
∼
θ→0
2θ, puis :
x
2
2y
=
ρ cos
2
θ
2 sin θ
− −− →
θ→0
1.
On a donc R 0 = 1, et C 0 (0,1).
2) Au voisinage de θ =
π
2
:
Notons u = θ −
π
2
− −− →
θ→ π
2
0, de sorte que θ =
π
2
+ u ; puis
ρ =
sin 2u
2 sin u + 1
∼
u→0
2u, et :
−
y
2
2x
= −
ρ sin
2
θ
2 cos θ
=
ρ cos
2 u
2 sin u
− −− →
u→0
1 .
On a donc : R π
2
= 1 et C π
2
(−1,0).
3) Au voisinage de θ = π :
Notons v = θ − π , d'où ρ = −
sin 2v
2 cos v + 1
∼
v→0
−
2v
3
,
et :
x
2
2y
=
ρ cos
2
θ
2 sin θ
= −
ρ cos
2
v
2 sin v
− −− →
v→0
1
3
.
On a donc : R π =
1
3
, et C π
0,
1
3
.
Réponse :

   
   
R 0 = 1, C 0 (0,1)
R π
2
= 1, C π
2
(−1,0)
R π =
1
3
, C π
0,
1
3
.
Le point courant M de Γ est paramétré par :
x = 2 cos t
y = sin t
, t ∈ R .
On a calculé les coordonnées du centre de courbure C en M
à Γ dans l'exemple de 6.1.4 p. 220 :



x C =
3
2
cos
3 t
y C = −3 sin
3 t.
D'où les coordonnées de P :



x = 2x M − x C = 4 cos t −
3
2
cos
3 t
y = 2y M − y C = 2 sin t + 3 sin
3 t.
• Etude en
π
6
: Par le changement de variable ϕ = θ −
π
6
, on
a :
Y (θ) = ρ(θ)sin
θ −
π
6
= −
sin ϕ
sin 3ϕ
= −
1
3 − 4 sin
2
ϕ
− −− →
ϕ→0
−
1
3
−
.
Donc C admet pour asymptote la droite D d'équation Y = −
1
3
dans le repère orthonormé direct (O;
−→
O X,
− →
OY ) défini par
< ) (
− →
Ox,
−→
O X) =
π
6
[2π] et, lorsque θ tend vers
π
6
−
, C se
trouve au-dessous deD .
b) Soient θ ∈ R , M le point de C d'angle polaire θ , M le point
de C d'angle polaire θ +
π
2
. On a ainsi :
M
cos θ
cos 3θ
,
sin θ
cos 3θ
, M
−
sin θ
sin 3θ
,
cos θ
sin 3θ
.
En déduire une EC de (M M ) : x cos 4θ + y sin 4θ = 1 .
Réponse : L'enveloppe des cordes de C vues de O sous un angle
droit est le cercle de centre O et de rayon 1 (privé de trois points).
6.1.15
6.1.16
θ
0
π
6
+∞
ρ
1
O
C
M
M'
•
Le point A est obtenu sur Γ pour θ = 0.
On a : ρ (θ) =
sin
θ
2
1 + cos
θ
2
2 , donc ρ (0) = 0.
Ainsi, la tangente en A à Γ est parallèle à y y .
On a donc : R A = lim
θ→0
−
y
2
2(x − 1)
.
Et : −
y
2
2(x − 1)
= −
ρ
2 sin
2
θ
2(ρcos θ − 1)
= −
2 sin
2
θ
1 + cos
θ
2
2 cos θ − 1 − cos
θ
2
= −
2θ
2
+ o(θ
2
)
2 −
θ
2
8
+ o(θ 2 )
−
7
8
θ 2 + o(θ 2 )
− −− →
θ→0
8
7
.
6.1.14