L'élimination de t fournit
2v
3
+ (3u + h)uv + (hλ − v)u
2
= 0
3v
2
+ (3u + h)u = 0
,
qui se ramène à
v = −3uλ
h = −3u(1 + 9λ
2
)
,
en montrant u = 0 et h = 0 .
Ainsi, la droite d'inflexion a pour équation :
x − 3λy − 3(1 + 9λ
2
) = 0 .
β) Réponse : La parabole d'équation y
2
= −12(x − 3) .
b) α) Montrer d'abord
y
x
∼
t→±∞
3
t
− −− →
t→±∞
0 .
Puis
y
x
=
1 − 3t
2
3t − t 3 − −− →
t→λ
1 − 3λ
2
3λ − λ 3 ,
et montrer
y −
1 − 3λ
2
3λ − λ 3 x − −− →
t→λ
−
3(1 + λ
2
)
2
3λ − λ 3 .
Réponse : ∆ λ
y =
1 − 3λ
2
3λ − λ 3 x −
3(1 + λ
2
)
2
3λ − λ 3
β) Réponse : L'enveloppe est représentée paramétriquement
par :
x =
3 − 6λ
2
− λ
4
1 + λ 2
, y =
−8λ
1 + λ 2 .
Dans un repère orthonormé convenable :
A(−a,0) , B(a,0) , M(a cos t,a sin t) .
Comme < ) (
− →
i ,
−→
AM) ≡
t
2
[π] , on a les coordonnées
de P :
P
a,2a tan
t
2
.
De même : Q
−a,2a cotan
t
2
.
On forme une EC de (P Q) :
x − a
−1
y − 2a tan
t
2
cotan
t
2
− tan
t
2
= 0,
ou encore, en notant u = tan
t
2
:
(1 − u
2
)(x − a) + uy − 2au
2
= 0.
On obtient une EC de l'enveloppe cherchée en éliminant u dans :
(1 − u
2
)(x − a) + uy − 2au
2
= 0
−2u(x − a) + y − 4au = 0,
ou encore, en annulant le discriminant du trinôme en u formé
par l'équation de (P Q) .
Réponse : L'enveloppe de la droite (P Q) est l'ellipse d'équation :
x
2
a 2 +
y
2
4a 2 = 1.
353
a) Former des équations de (AM ) :
(λ − a)(x − a) + ay = 0,
et de (A M ) : (λ + a)(x + a) + ay = 0;
d'où : M
− λ,
λ
2
− a
2
a
.
Réponse : La parabole d'équation x
2
= a(y + a) .
b) Une équation de (M M ) est :
(λ
2
− 2a
2
)(x − λ) + 2aλ(y − a) = 0.
Réponse : L'enveloppe est représentée paramétriquement par :
x =
2λ
3
λ 2 + 2a 2 ,y = −
λ
2
(λ
2
− 6a
2
)
2a(λ 2 + 2a 2 )
.
6.1.11
6.1.12
6.1.13
y
x
O
C
A
B
P
Q
t
t
2
y
x
O
C
D
E
A'
M a
a
A
--a
--a
M'
a) • ρ est
2π
3
-périodique ; on fait varier θ dans un intervalle de
longueur
2π
3
, puis on effectue deux fois la rotation de centre
O et d'angle
2π
3
.
• ρ est paire ; on fait varier θ dans
0;
π
3
, puis on effectue la
symétrie par rapport à x x .
• ρ
π
3
− θ
= −ρ(θ) ; on fait varier θ dans
0;
π
6
, puis on
effectue la symétrie par rapport à la droite d'angle polaire
π
2
+
π
6
.
2v
3
+ (3u + h)uv + (hλ − v)u
2
= 0
3v
2
+ (3u + h)u = 0
,
qui se ramène à
v = −3uλ
h = −3u(1 + 9λ
2
)
,
en montrant u = 0 et h = 0 .
Ainsi, la droite d'inflexion a pour équation :
x − 3λy − 3(1 + 9λ
2
) = 0 .
β) Réponse : La parabole d'équation y
2
= −12(x − 3) .
b) α) Montrer d'abord
y
x
∼
t→±∞
3
t
− −− →
t→±∞
0 .
Puis
y
x
=
1 − 3t
2
3t − t 3 − −− →
t→λ
1 − 3λ
2
3λ − λ 3 ,
et montrer
y −
1 − 3λ
2
3λ − λ 3 x − −− →
t→λ
−
3(1 + λ
2
)
2
3λ − λ 3 .
Réponse : ∆ λ
y =
1 − 3λ
2
3λ − λ 3 x −
3(1 + λ
2
)
2
3λ − λ 3
β) Réponse : L'enveloppe est représentée paramétriquement
par :
x =
3 − 6λ
2
− λ
4
1 + λ 2
, y =
−8λ
1 + λ 2 .
Dans un repère orthonormé convenable :
A(−a,0) , B(a,0) , M(a cos t,a sin t) .
Comme < ) (
− →
i ,
−→
AM) ≡
t
2
[π] , on a les coordonnées
de P :
P
a,2a tan
t
2
.
De même : Q
−a,2a cotan
t
2
.
On forme une EC de (P Q) :
x − a
−1
y − 2a tan
t
2
cotan
t
2
− tan
t
2
= 0,
ou encore, en notant u = tan
t
2
:
(1 − u
2
)(x − a) + uy − 2au
2
= 0.
On obtient une EC de l'enveloppe cherchée en éliminant u dans :
(1 − u
2
)(x − a) + uy − 2au
2
= 0
−2u(x − a) + y − 4au = 0,
ou encore, en annulant le discriminant du trinôme en u formé
par l'équation de (P Q) .
Réponse : L'enveloppe de la droite (P Q) est l'ellipse d'équation :
x
2
a 2 +
y
2
4a 2 = 1.
353
a) Former des équations de (AM ) :
(λ − a)(x − a) + ay = 0,
et de (A M ) : (λ + a)(x + a) + ay = 0;
d'où : M
− λ,
λ
2
− a
2
a
.
Réponse : La parabole d'équation x
2
= a(y + a) .
b) Une équation de (M M ) est :
(λ
2
− 2a
2
)(x − λ) + 2aλ(y − a) = 0.
Réponse : L'enveloppe est représentée paramétriquement par :
x =
2λ
3
λ 2 + 2a 2 ,y = −
λ
2
(λ
2
− 6a
2
)
2a(λ 2 + 2a 2 )
.
6.1.11
6.1.12
6.1.13
y
x
O
C
A
B
P
Q
t
t
2
y
x
O
C
D
E
A'
M a
a
A
--a
--a
M'
a) • ρ est
2π
3
-périodique ; on fait varier θ dans un intervalle de
longueur
2π
3
, puis on effectue deux fois la rotation de centre
O et d'angle
2π
3
.
• ρ est paire ; on fait varier θ dans
0;
π
3
, puis on effectue la
symétrie par rapport à x x .
• ρ
π
3
− θ
= −ρ(θ) ; on fait varier θ dans
0;
π
6
, puis on
effectue la symétrie par rapport à la droite d'angle polaire
π
2
+
π
6
.