352
Former une équation cartésienne de la médiatrice D t de
(P Q) :
M(x,y) ∈ D t ⇐⇒ (x − cos t)
2 + y
2 = x
2 + (y − sin t)
2
⇐⇒ 2x cos t − 2y sin t = cos 2t.
On obtient une RP de l'enveloppe de D t en résolvant le système d'équations :
D t : x cos t − y sin t =
1
2
cos 2t
D
t : x sin t + y cos t = sin 2t.
Réponse : L'enveloppe est l'arc paramétré
x =
1
4
(3 cos t − cos 3t)
y =
1
4
(3 sin t + sin 3t).
Le changement de paramètre u = t −
π
4
et le changement de
repère orthonormé direct défini par < ) (
− →
Ox,
−→
O X) ≡
π
4
[2π]
permet de reconnaître l'astroïde de RP :
X = cos
3 u,
Y = sin
3 u.
Dans un repère orthonormé convenable, les deux points fixes
sont A(0,a) , B(0,−a) , et les deux cercles C , C ont pour
centres Ω(λa,0) , Ω
−
a
λ
,0
où λ ∈ R ∗ , et pour rayons
R,R définis par :
R
2
= a
2
(1 + λ
2
), R 2 = a
2
1 +
1
λ 2
.
Une droite D , d'équation ux + vy + h = 0 , est tangente à C
si et seulement si d(Ω,D) = R .
En déduire que D est tangente à C et C si et seulement si :
(uλa + h)
2
= a
2
(1 + λ
2
)(u
2
+ v
2
)
−
ua
λ
+ h
2 = a
2
1 +
1
λ 2
(u
2
+ v
2
).
6.1.7
6.1.9
y
x
O
1
D t
Q
P
1
2
Former l'équation aux x des points d'intersection d'une droite
D , d'équation y = mx + p , et de E :
(b
2
+ a
2 m
2
)x
2
+ 2a
2 mpx + a
2
( p
2
− b
2
) = 0.
Il s'agit de deux points réels, de milieu d'abscisse d , si et seulement si :
a
2 mp
b 2 + a 2 m 2 = −d
(a
2 mp)
2
− a
2
(b
2
+ a
2 m
2
)( p
2
− b
2
) 0.
Une équation de la corde est donc :
a
2
(x − d)m
2
− a
2 ym − b
2 d = 0.
Réponse : Le morceau de la parabole d'équation
a
2 y
2
+ 4b
2 d(x − d) = 0 ,
limité par la condition
|y|
2bd|x − d|
a
√
a 2 − d 2
(si |d| a , l'enveloppe est vide).
6.1.8
y
x
O
M 1
M 2
E
d
b
a
y
x
O
Ω
Ω '
C
D
C'
A
B
a
a 2
L'élimination de λ fournit a
2
(u
2
+ 2v
2
) = h
2 (ce qui constitue l'équation tangentielle de l'enveloppe). Le paramétrage
u =
h
a
cos θ , v =
h
a
√
2
sin θ donne, pour équation de D :
x cos θ +
y
√
2
sin θ + a = 0 .
Réponse : L'ellipse d'équation
x
2
a 2 +
y
2
2a 2 = 1 .
a) α) Soient D une droite ux + vy + h = 0 son équation.
L'équation aux t des points de D ∩ C λ est :
ut
3
+ 3vt
2
− (3u + h)t + (hλ − v) = 0.
Cette équation admet une racine triple si et seulement s'il
existe t ∈ R tel que :
ut
3
+ 3vt
2
− (3u + h)t + (hλ − v) = 0
3ut
2
+ 6vt − (3u + h) = 0
ut + v = 0.
6.1.10
Former une équation cartésienne de la médiatrice D t de
(P Q) :
M(x,y) ∈ D t ⇐⇒ (x − cos t)
2 + y
2 = x
2 + (y − sin t)
2
⇐⇒ 2x cos t − 2y sin t = cos 2t.
On obtient une RP de l'enveloppe de D t en résolvant le système d'équations :
D t : x cos t − y sin t =
1
2
cos 2t
D
t : x sin t + y cos t = sin 2t.
Réponse : L'enveloppe est l'arc paramétré
x =
1
4
(3 cos t − cos 3t)
y =
1
4
(3 sin t + sin 3t).
Le changement de paramètre u = t −
π
4
et le changement de
repère orthonormé direct défini par < ) (
− →
Ox,
−→
O X) ≡
π
4
[2π]
permet de reconnaître l'astroïde de RP :
X = cos
3 u,
Y = sin
3 u.
Dans un repère orthonormé convenable, les deux points fixes
sont A(0,a) , B(0,−a) , et les deux cercles C , C ont pour
centres Ω(λa,0) , Ω
−
a
λ
,0
où λ ∈ R ∗ , et pour rayons
R,R définis par :
R
2
= a
2
(1 + λ
2
), R 2 = a
2
1 +
1
λ 2
.
Une droite D , d'équation ux + vy + h = 0 , est tangente à C
si et seulement si d(Ω,D) = R .
En déduire que D est tangente à C et C si et seulement si :
(uλa + h)
2
= a
2
(1 + λ
2
)(u
2
+ v
2
)
−
ua
λ
+ h
2 = a
2
1 +
1
λ 2
(u
2
+ v
2
).
6.1.7
6.1.9
y
x
O
1
D t
Q
P
1
2
Former l'équation aux x des points d'intersection d'une droite
D , d'équation y = mx + p , et de E :
(b
2
+ a
2 m
2
)x
2
+ 2a
2 mpx + a
2
( p
2
− b
2
) = 0.
Il s'agit de deux points réels, de milieu d'abscisse d , si et seulement si :
a
2 mp
b 2 + a 2 m 2 = −d
(a
2 mp)
2
− a
2
(b
2
+ a
2 m
2
)( p
2
− b
2
) 0.
Une équation de la corde est donc :
a
2
(x − d)m
2
− a
2 ym − b
2 d = 0.
Réponse : Le morceau de la parabole d'équation
a
2 y
2
+ 4b
2 d(x − d) = 0 ,
limité par la condition
|y|
2bd|x − d|
a
√
a 2 − d 2
(si |d| a , l'enveloppe est vide).
6.1.8
y
x
O
M 1
M 2
E
d
b
a
y
x
O
Ω
Ω '
C
D
C'
A
B
a
a 2
L'élimination de λ fournit a
2
(u
2
+ 2v
2
) = h
2 (ce qui constitue l'équation tangentielle de l'enveloppe). Le paramétrage
u =
h
a
cos θ , v =
h
a
√
2
sin θ donne, pour équation de D :
x cos θ +
y
√
2
sin θ + a = 0 .
Réponse : L'ellipse d'équation
x
2
a 2 +
y
2
2a 2 = 1 .
a) α) Soient D une droite ux + vy + h = 0 son équation.
L'équation aux t des points de D ∩ C λ est :
ut
3
+ 3vt
2
− (3u + h)t + (hλ − v) = 0.
Cette équation admet une racine triple si et seulement s'il
existe t ∈ R tel que :
ut
3
+ 3vt
2
− (3u + h)t + (hλ − v) = 0
3ut
2
+ 6vt − (3u + h) = 0
ut + v = 0.
6.1.10