Les solutions de certains exercices du chapitre 5 sont analogues
à celles d'exercices du chapitre 4 (Algèbre bilinéaire).
Cf. ex. 4.1.1 p. 136.
Cf. ex. 4.3.1 p. 153.
• Notons V = X + iY. On a :
V ∗ (AV ) = λV ∗ V
et
(V ∗ A)V = −(AV ) ∗ V = −λV ∗ V,
d'où : (λ + λ)V ∗ V = 0.
Comme V ∗ V ∈ R ∗
+ , on déduit λ + λ = 0, λ ∈ iR.
Il existe donc α ∈ R ∗ tel que λ = iα.
De plus :
AV = λV ⇐⇒ A(X + iY ) = iα(X + iY )
⇐⇒
AX = −αY
AY = α X
,
puisque α est réel et que X,Y,A sont réelles.
• t X (AX) = −α t XY
et ( t X A)X = − t (AX)X = α t Y X,
d'où, puisque t XY = t Y X ∈ R et α = 0 :
t XY = t Y X = 0 .
• t X (AY ) = α t X X
et ( t X A)Y = − t (AX)Y = α t Y Y,
d'où: t X X = t Y Y.
D'après le théorème fondamental, il existe Ω 1 ∈ O n (R),
D = diag (λ 1 ,. . . ,λ n ) à termes diagonaux 0, telles que
S = Ω 1 DΩ
−1
1 , et on sait S
1
2 = Ω 1 ∆Ω
−1
1 , où
∆ = diag (λ
1
2
1 ,. . . ,λ
1
2
n ) .
On a : t Ω SΩ = t (Ω
−1
1 Ω)D(Ω
−1
1 Ω),
d'où, en notant S = t (Ω
−1
1 Ω)∆(Ω
−1
1 Ω) :
S ∈ S +
n et S 2 = t (Ω
−1
1 Ω)∆ 2 (Ω
−1
1 Ω) = t Ω SΩ.
D'après l'unicité de la racine carrée dans S +
n (ex. 4.5.62), on
déduit S = ( t Ω SΩ)
1
2 .
Enfin : S = t ΩΩ 1 ∆Ω
−1
1 Ω = t Ω S
1
2 Ω.
β) En utilisant α) :
| t Ω AΩ| =
t Ω AΩ
2
1
2 = ( t Ω A 2 Ω)
1
2
= t Ω(A 2 )
1
2 Ω = t Ω|A|Ω.
347
a) Comme
A A = (X +iY )(X −iY ) = (X 2 +Y 2 )+i(Y X − XY ),
on a :
A −1 (X 2 +Y 2 ) = A ⇐⇒ X 2 +Y 2 = A A ⇐⇒ Y X = XY.
b) Examiner l'exemple : X =
1 0
0 −1
,Y =
0 1
1 0
.
Réponse : Oui.
c) Examiner l'exemple : X =
0 1
0 0
, Y =
0 0
1 0
.
Réponse : Oui.
On a, pour tout λ de C :
χ AB (λ) = det (AB − λI n ) = det ((AB − λI n )
∗ )
= det (B
∗ A
∗ − λI n )
= det(B A − λI n ) = χ B A (λ).
D'après l'ex. 3.2.12 p. 86, χ AB = χ B A ,
d'où :
∀ λ ∈ C, χ AB (λ) = χ AB (λ).
Il en résulte (cf. Algèbre PCSI-PTSI, 5.3.5 Prop. 1):
χ AB ∈ R[X].
Comme tr (AB) est (au signe près) le coefficient du terme de
degré n − 1 de χ AB , on obtient en particulier :
tr (AB) ∈ R.
On utilise essentiellement le fait que les deux involutions
A −→ t A et A −→ A de M n (C) commutent.
a) • Une inclusion est évidente.
• Si A = (t i j ) ∈ H n ∩ T n,s (C), alors :
∀ (i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 ,
i > j ⇒ t i j = 0
i = j ⇒ t ii = t ii
i < j ⇒ t i j = t ji = 0
,
donc A ∈ D n (R).
b)
( t A) ∗ = t ( t A) = t (A ∗ ) = t A, (A) ∗ = ( t A) = A ∗ = A.
c) En notant P =
N
k=0
a k X
k où les a k sont réels, on a :
P(A)
∗ = t
N
k=0
a k A
k
= t
N
k=0
a k (A)
k
=
N
k=0
a k (A
∗ )
k =
N
k=0
a k A
k = P(A).
Plus généralement :
∀ A ∈ M n (C), ∀ P ∈ C[X],
P(A)
∗ = P(A ∗ ).
Chapitre 5
5.1.1
5.1.2
5.1.3
5.1.4
5.1.5
5.1.6
à celles d'exercices du chapitre 4 (Algèbre bilinéaire).
Cf. ex. 4.1.1 p. 136.
Cf. ex. 4.3.1 p. 153.
• Notons V = X + iY. On a :
V ∗ (AV ) = λV ∗ V
et
(V ∗ A)V = −(AV ) ∗ V = −λV ∗ V,
d'où : (λ + λ)V ∗ V = 0.
Comme V ∗ V ∈ R ∗
+ , on déduit λ + λ = 0, λ ∈ iR.
Il existe donc α ∈ R ∗ tel que λ = iα.
De plus :
AV = λV ⇐⇒ A(X + iY ) = iα(X + iY )
⇐⇒
AX = −αY
AY = α X
,
puisque α est réel et que X,Y,A sont réelles.
• t X (AX) = −α t XY
et ( t X A)X = − t (AX)X = α t Y X,
d'où, puisque t XY = t Y X ∈ R et α = 0 :
t XY = t Y X = 0 .
• t X (AY ) = α t X X
et ( t X A)Y = − t (AX)Y = α t Y Y,
d'où: t X X = t Y Y.
D'après le théorème fondamental, il existe Ω 1 ∈ O n (R),
D = diag (λ 1 ,. . . ,λ n ) à termes diagonaux 0, telles que
S = Ω 1 DΩ
−1
1 , et on sait S
1
2 = Ω 1 ∆Ω
−1
1 , où
∆ = diag (λ
1
2
1 ,. . . ,λ
1
2
n ) .
On a : t Ω SΩ = t (Ω
−1
1 Ω)D(Ω
−1
1 Ω),
d'où, en notant S = t (Ω
−1
1 Ω)∆(Ω
−1
1 Ω) :
S ∈ S +
n et S 2 = t (Ω
−1
1 Ω)∆ 2 (Ω
−1
1 Ω) = t Ω SΩ.
D'après l'unicité de la racine carrée dans S +
n (ex. 4.5.62), on
déduit S = ( t Ω SΩ)
1
2 .
Enfin : S = t ΩΩ 1 ∆Ω
−1
1 Ω = t Ω S
1
2 Ω.
β) En utilisant α) :
| t Ω AΩ| =
t Ω AΩ
2
1
2 = ( t Ω A 2 Ω)
1
2
= t Ω(A 2 )
1
2 Ω = t Ω|A|Ω.
347
a) Comme
A A = (X +iY )(X −iY ) = (X 2 +Y 2 )+i(Y X − XY ),
on a :
A −1 (X 2 +Y 2 ) = A ⇐⇒ X 2 +Y 2 = A A ⇐⇒ Y X = XY.
b) Examiner l'exemple : X =
1 0
0 −1
,Y =
0 1
1 0
.
Réponse : Oui.
c) Examiner l'exemple : X =
0 1
0 0
, Y =
0 0
1 0
.
Réponse : Oui.
On a, pour tout λ de C :
χ AB (λ) = det (AB − λI n ) = det ((AB − λI n )
∗ )
= det (B
∗ A
∗ − λI n )
= det(B A − λI n ) = χ B A (λ).
D'après l'ex. 3.2.12 p. 86, χ AB = χ B A ,
d'où :
∀ λ ∈ C, χ AB (λ) = χ AB (λ).
Il en résulte (cf. Algèbre PCSI-PTSI, 5.3.5 Prop. 1):
χ AB ∈ R[X].
Comme tr (AB) est (au signe près) le coefficient du terme de
degré n − 1 de χ AB , on obtient en particulier :
tr (AB) ∈ R.
On utilise essentiellement le fait que les deux involutions
A −→ t A et A −→ A de M n (C) commutent.
a) • Une inclusion est évidente.
• Si A = (t i j ) ∈ H n ∩ T n,s (C), alors :
∀ (i, j) ∈ {1,. . . ,n} 2 ,
i > j ⇒ t i j = 0
i = j ⇒ t ii = t ii
i < j ⇒ t i j = t ji = 0
,
donc A ∈ D n (R).
b)
( t A) ∗ = t ( t A) = t (A ∗ ) = t A, (A) ∗ = ( t A) = A ∗ = A.
c) En notant P =
N
k=0
a k X
k où les a k sont réels, on a :
P(A)
∗ = t
N
k=0
a k A
k
= t
N
k=0
a k (A)
k
=
N
k=0
a k (A
∗ )
k =
N
k=0
a k A
k = P(A).
Plus généralement :
∀ A ∈ M n (C), ∀ P ∈ C[X],
P(A)
∗ = P(A ∗ ).
Chapitre 5
5.1.1
5.1.2
5.1.3
5.1.4
5.1.5
5.1.6