346
D'après l'ex. 4.5.73, il existe Ω ∈ O n (R) , λ 1 ,. . . ,λ n ,
µ 1 ,. . . ,µ n ∈ R + (resp. R ∗
+ ) tels qu'en notant
D A = diag(λ 1 ,. . . ,λ n ), D B = diag (µ 1 ,. . . ,µ n ) , on ait :
A = Ω D A Ω −1 , B = Ω D B Ω −1 .
Alors : AB = Ω D A D B Ω −1
= Ω diag
(λ i µ i ) 1 i n
Ω −1 ∈ S +
n (resp. S ++
n ).
Supposons 0 A B.
Puisque A et B commutent, B − A et B + A commutent aussi.
D'après l'ex. 4.5.74, comme B − A ∈ S +
n et B + A ∈ S +
n , on
en déduit : (B − A)(B + A) ∈ S +
n .
Mais, puisque A et B commutent :
(B − A)(B + A) = B 2 − A 2 .
Finalement : A 2 B 2 .
1) D'après le théorème fondamental, il existe Ω ∈ O n (R),
D = diag (λ 1 ,. . . ,λ n ) ∈ D n (R) telles que A = Ω DΩ −1 .
On a alors A 2 = Ω D 2 Ω −1 , d'où (cf. ex. 4.5.62) :
|A| = (A 2 )
1
2 = Ω∆Ω −1 ,
en notant ∆ = diag (|λ 1 |,. . . ,|λ n |).
On en déduit :
|A| − A = Ω diag ((|λ i | − λ i ) i )Ω −1 ∈ S +
n
|A| + A = Ω diag ((|λ i | + λ i ) i )Ω −1 ∈ S +
n
,
donc : A |A| et −A |A|.
De plus : |A| = A ⇐⇒ (∀ i ∈ {1,. . . ,n}, |λ i | = λ i )
⇐⇒ (∀ i ∈ {1 . . . ,n}, λ i 0) ⇐⇒ A ∈ S +
n .
2) |α A|=((α A) 2 )
1
2 = (α 2 A 2 )
1
2 =|α|(A 2 )
1
2 = |α||A|.
3) • Pour A =
1 0
0 −1
ou A =
0 1
1 0
,
on a A 2 = I 2 , donc |A| = I 2 .
• Cas A =
1 2
2 1
.
Diagonaliser A par le groupe orthogonal : A = Ω DΩ −1 ,
où Ω =
1
√
2
1 1
−1 1
, Ω −1 = t Ω, D =
−1 0
0 3
.
D'où |A| = Ω
1 0
0 3
Ω −1 =
2 1
1 2
.
Réponse :
1 0
0 −1
=
0 1
1 0
=
1 0
0 1
,
1 2
2 1
=
2 1
1 2
.
4) a) Puisque A,B ∈ S n (R) et AB = B A, d'après l'ex. 4.5.73,
il existe Ω ∈ O n (R) , D A ,D B ∈ D n (R) telles que :
A = Ω D A Ω −1 et B = Ω D B Ω −1 .
Notons
D A = diag (α 1 ,. . . ,α n ), D B = diag (β 1 ,. . . ,β n ) .
On a :
A B
−A B
⇐⇒
B − A ∈ S +
n
B + A ∈ S +
n
⇐⇒
∀ i ∈ {1,. . . ,n},
β i −α i 0
β i +α i 0
⇐⇒ (∀ i ∈ {1,. . . ,n}, | α i | β i )
⇐⇒ B − |A|=Ω(D B − |D A |)Ω
−1 ∈ S
+
n
⇐⇒ | A| B.
b) Examiner l'exemple
n = 2, A =
1 0
0 −1
, B =
2
√
2
√
2
2
,
dans lequel on a : B − A =
1
√
2
√
2
3
∈ S
+
2
(car, par exemple :
∀ (x,y) ∈ R 2 ,
(xy)(B − A)
x
y
= x 2 + 2
√
2xy + 3y 2
= (x +
√
2y) 2 + y 2 0),
B + A =
3
√
2
√
2
1
∈ S
+
2 ,
B − |A| =
1
√
2
√
2
1
∈ S
+
2
(car, par exemple :
(1 − 1)(B − |A|)
1
−1
= 1 − 2
√
2 + 1 < 0 ).
Réponse : non (si n 2).
5) a) Raisonner comme dans la solution de 4) a).
b) Examiner l'exemple :
n = 2, A =
4 3
3 4
, B =
−2 −3
−3 −6
,
dans lequel on a :
• A + B =
2 0
0 −2
, |A + B| =
2 0
0 2
• |A| = A (car A ∈ S
+
2 ), et |B| = −B (car −B ∈ S
+
2 )
• |A| + |B| − |A + B| =
4 6
6 8
∈ S
+
2 (déterminant < 0 ).
Réponse : non (si n 2).
6) α) Soient S ∈ S +
n ,Ω ∈ O n (R). Montrons :
( t Ω SΩ)
1
2 = t Ω S
1
2 Ω.
4.5.74
4.5.75
P 4.1