•
∀ k ∈ N, t S σ (k) = t M σ (k) Ω σ (k) −→
k∞
t MΩ
t S σ (k) = S σ (k) −→
k∞
S
,
donc S = t MΩ = t (Ω −1 M) = t S , d'où S ∈ S n (R) .
• Soit X ∈ M n,1 (R) . On a :
∀ k ∈ N, t X S σ (k) X 0 ,
d'où en passant à la limite : t X S X 0, et donc S ∈ S +
n .
Unicité de S :
si (Ω,S) ∈ O n (R) × S +
n est tel que M = Ω S , alors
t M M = t S t ΩΩ S = S 2 , donc S est la racine carrée de t M M
dans S +
n (cf. ex. 4.5.62).
Application :
Soit (A,B) ∈ (M n (R)) 2 tel que t A A = t B B .
D'après la décomposition polaire dans M n (R), il existe Ω A ,
Ω B ∈ O n (R) , S A ,S B ∈ S +
n telles que : A = Ω A S A ,
B = Ω B S B . Comme t B B = t A A, on a S 2
B = S 2
A , puis, par
unicité de la racine carrée dans S +
n (cf. ex. 4.5.62) : S B = S A .
Alors A = Ω B, où Ω = Ω A Ω
−1
B ∈ O n (R).
Remarque :
On peut d'ailleurs aussi déduire le théorème de décomposition
polaire dans M n (R) de l'ex. 4.5.67 b) :
Soit M ∈ M n (R) . Puisque t M M ∈ S +
n , il existe S ∈ S +
n telle
que t M M = S 2 = t SS. D'après l'ex. 4.5.67 b), il existe
Ω ∈ O n (R) telle que M = Ω S . Cette argumentation évite alors
l'intervention de la compacité.
t X X + t X A + t AX = 0
⇐⇒ t (X + A)(X + A) = t A A
⇐⇒ (∃Ω ∈ O n (R), X + A = Ω A)
.
Réponse : {(Ω − I n )A; Ω ∈ O n (R)}.
• Soit (X,Y ) convenant. Alors :
t (X − Y )(X − Y ) = A − B.
Notons C = (A − B)
1
2 ∈ S +
n . D'après le théorème de décomposition polaire dans M n (R) (ex. 4.5.69), il existe Ω ∈ O n (R)
telle que X − Y = ΩC.
• En remplaçant X par Y + ΩC (Ω ∈ O n (R)), on obtient :
t X X + t Y Y = A
t XY + t Y X = B
⇐⇒ 2 t Y Y + t Y ΩC + CΩ
−1 Y = B
⇐⇒ t (Y +
1
2
ΩC)(Y +
1
2
ΩC) =
1
4
(A + B).
Notons R =
1
2
(A + B)
1
2 ∈ S +
n . D'après le théorème de décomposition polaire à nouveau, la relation précédente équivaut
à l'existence de Ω ∈ O n (R) telle que
Y +
1
2
ΩC = Ω R.
345
Réponse :
{(ΩU + Ω U ,−ΩU + Ω U ); (Ω,Ω ) ∈
O n (R)
2 } ,
où U =
1
2
(A − B)
1
2
et U =
1
2
(A + B)
1
2 .
D'après l'ex. 4.5.69, il existe (Ω,S) ∈ O n (R) × S +
n tel que
A = Ω S. Puis, d'après le théorème fondamental, il existe
P ∈ O n (R), D ∈ D n (R) à termes diagonaux 0, telles
que S = P D P −1 . Alors, en notant U = Ω P ∈ O n (R) et
V = P −1 ∈ O n (R), on a :
A = Ω S = Ω P D P −1 = U DV.
Récurrence sur n.
La propriété est triviale pour n = 1.
Supposons-la vraie pour tout p de N ∗ tel que p < n, et soient
I un ensemble non vide, (S i ) i∈I une famille d'éléments de S n (R)
commutant deux à deux.
Le cas (∀ i ∈ I, S i ∈ R I n ) est trivial.
Supposons donc qu'il existe i 0 ∈ I tel que S i 0 ∈ RI n .
D'après le théorème fondamental, il existe Ω ∈ O n (R),
D ∈ D n (R) telles que S i 0 = Ω DΩ −1 .
Comme S i 0 ∈ RI n , les éléments diagonaux de D ne sont pas
tous égaux. On peut donc supposer D =
λ 0 I r
0
0
D
, où
λ 0 ∈ R , r ∈ {1,. . . ,n − 1} , D ∈ D n−r (R) à termes diagonaux = λ 0 .
Pour chaque i de I, décomposons Ω −1 S i Ω en blocs :
Ω −1 S i Ω =
A i B i
t B i C i
,
où A i ∈ S r (R), B i ∈ M r,n−r (R) , C i ∈ S n−r (R).
Comme les S i (i ∈ I ) commutent deux à deux, en particulier :
∀ i ∈ I, S i S i 0 = S i 0 S i .
En effectuant un produit par blocs, on en déduit :
∀ i ∈ I, λ 0 B i = B i D ,
c'est-à-dire : ∀ i ∈ I, B i (D − λ 0 I n−r ) = 0 .
Mais D − λ 0 I n−r est inversible, d'où : ∀ i ∈ I, B i = 0 .
Montrer alors : ∀ (i, j) ∈ I 2 ,
A i A j = A j A i
C i C j = C j C i
.
On peut donc appliquer l'hypothèse de récurrence aux deux familles (A i ) i∈I et (C i ) i∈I .
Il existe donc Ω 1 ∈ O r (R) et Ω 2 ∈ O n−r (R) telles que :
∀ i ∈ I,
Ω
−1
1 A i Ω 1 ∈ D r (R)
Ω
−1
2 C i Ω 2 ∈ D n−r (R)
.
En notant Ω = Ω
Ω 1
0
0
Ω 2
, on a alors facilement :
Ω ∈ O n (R) et : ∀ i ∈ I, Ω −1 S i Ω ∈ D n (R).
4.5.70
4.5.71
4.5.73
4.5.72
∀ k ∈ N, t S σ (k) = t M σ (k) Ω σ (k) −→
k∞
t MΩ
t S σ (k) = S σ (k) −→
k∞
S
,
donc S = t MΩ = t (Ω −1 M) = t S , d'où S ∈ S n (R) .
• Soit X ∈ M n,1 (R) . On a :
∀ k ∈ N, t X S σ (k) X 0 ,
d'où en passant à la limite : t X S X 0, et donc S ∈ S +
n .
Unicité de S :
si (Ω,S) ∈ O n (R) × S +
n est tel que M = Ω S , alors
t M M = t S t ΩΩ S = S 2 , donc S est la racine carrée de t M M
dans S +
n (cf. ex. 4.5.62).
Application :
Soit (A,B) ∈ (M n (R)) 2 tel que t A A = t B B .
D'après la décomposition polaire dans M n (R), il existe Ω A ,
Ω B ∈ O n (R) , S A ,S B ∈ S +
n telles que : A = Ω A S A ,
B = Ω B S B . Comme t B B = t A A, on a S 2
B = S 2
A , puis, par
unicité de la racine carrée dans S +
n (cf. ex. 4.5.62) : S B = S A .
Alors A = Ω B, où Ω = Ω A Ω
−1
B ∈ O n (R).
Remarque :
On peut d'ailleurs aussi déduire le théorème de décomposition
polaire dans M n (R) de l'ex. 4.5.67 b) :
Soit M ∈ M n (R) . Puisque t M M ∈ S +
n , il existe S ∈ S +
n telle
que t M M = S 2 = t SS. D'après l'ex. 4.5.67 b), il existe
Ω ∈ O n (R) telle que M = Ω S . Cette argumentation évite alors
l'intervention de la compacité.
t X X + t X A + t AX = 0
⇐⇒ t (X + A)(X + A) = t A A
⇐⇒ (∃Ω ∈ O n (R), X + A = Ω A)
.
Réponse : {(Ω − I n )A; Ω ∈ O n (R)}.
• Soit (X,Y ) convenant. Alors :
t (X − Y )(X − Y ) = A − B.
Notons C = (A − B)
1
2 ∈ S +
n . D'après le théorème de décomposition polaire dans M n (R) (ex. 4.5.69), il existe Ω ∈ O n (R)
telle que X − Y = ΩC.
• En remplaçant X par Y + ΩC (Ω ∈ O n (R)), on obtient :
t X X + t Y Y = A
t XY + t Y X = B
⇐⇒ 2 t Y Y + t Y ΩC + CΩ
−1 Y = B
⇐⇒ t (Y +
1
2
ΩC)(Y +
1
2
ΩC) =
1
4
(A + B).
Notons R =
1
2
(A + B)
1
2 ∈ S +
n . D'après le théorème de décomposition polaire à nouveau, la relation précédente équivaut
à l'existence de Ω ∈ O n (R) telle que
Y +
1
2
ΩC = Ω R.
345
Réponse :
{(ΩU + Ω U ,−ΩU + Ω U ); (Ω,Ω ) ∈
O n (R)
2 } ,
où U =
1
2
(A − B)
1
2
et U =
1
2
(A + B)
1
2 .
D'après l'ex. 4.5.69, il existe (Ω,S) ∈ O n (R) × S +
n tel que
A = Ω S. Puis, d'après le théorème fondamental, il existe
P ∈ O n (R), D ∈ D n (R) à termes diagonaux 0, telles
que S = P D P −1 . Alors, en notant U = Ω P ∈ O n (R) et
V = P −1 ∈ O n (R), on a :
A = Ω S = Ω P D P −1 = U DV.
Récurrence sur n.
La propriété est triviale pour n = 1.
Supposons-la vraie pour tout p de N ∗ tel que p < n, et soient
I un ensemble non vide, (S i ) i∈I une famille d'éléments de S n (R)
commutant deux à deux.
Le cas (∀ i ∈ I, S i ∈ R I n ) est trivial.
Supposons donc qu'il existe i 0 ∈ I tel que S i 0 ∈ RI n .
D'après le théorème fondamental, il existe Ω ∈ O n (R),
D ∈ D n (R) telles que S i 0 = Ω DΩ −1 .
Comme S i 0 ∈ RI n , les éléments diagonaux de D ne sont pas
tous égaux. On peut donc supposer D =
λ 0 I r
0
0
D
, où
λ 0 ∈ R , r ∈ {1,. . . ,n − 1} , D ∈ D n−r (R) à termes diagonaux = λ 0 .
Pour chaque i de I, décomposons Ω −1 S i Ω en blocs :
Ω −1 S i Ω =
A i B i
t B i C i
,
où A i ∈ S r (R), B i ∈ M r,n−r (R) , C i ∈ S n−r (R).
Comme les S i (i ∈ I ) commutent deux à deux, en particulier :
∀ i ∈ I, S i S i 0 = S i 0 S i .
En effectuant un produit par blocs, on en déduit :
∀ i ∈ I, λ 0 B i = B i D ,
c'est-à-dire : ∀ i ∈ I, B i (D − λ 0 I n−r ) = 0 .
Mais D − λ 0 I n−r est inversible, d'où : ∀ i ∈ I, B i = 0 .
Montrer alors : ∀ (i, j) ∈ I 2 ,
A i A j = A j A i
C i C j = C j C i
.
On peut donc appliquer l'hypothèse de récurrence aux deux familles (A i ) i∈I et (C i ) i∈I .
Il existe donc Ω 1 ∈ O r (R) et Ω 2 ∈ O n−r (R) telles que :
∀ i ∈ I,
Ω
−1
1 A i Ω 1 ∈ D r (R)
Ω
−1
2 C i Ω 2 ∈ D n−r (R)
.
En notant Ω = Ω
Ω 1
0
0
Ω 2
, on a alors facilement :
Ω ∈ O n (R) et : ∀ i ∈ I, Ω −1 S i Ω ∈ D n (R).
4.5.70
4.5.71
4.5.73
4.5.72