344
a) • On a Ker ( f ) = Ker (g) , car, pour tout x de E :
f (x) = 0 ⇐⇒ || f (x)|| = 0 ⇐⇒ ||g(x)|| = 0
⇐⇒ g(x) = 0.
D'après le théorème du rang, il en résulte :
dim (Im( f )) = dim (E) − dim (Ker ( f ))
= dim (E) − dim (Ker (g)) = dim(Im(g)).
• Le sev Ker ( f ) (= Ker (g)) de E admet au moins un supplémentaire F dans E .
Notons f : F −→ Im( f )
x −→ f (x)
et g : F −→ Im(g)
x −→g(x)
.
L'application f est linéaire, et surjective car, pour tout y
de Im( f ) , il existe u ∈ E tel que y = f (u) , puis
(x,z) ∈ F × Ker ( f ) tel que u = x + z , et on a
y = f (u) = f (x) .
Puisque
dim (F) = dim (E) − dim (Ker ( f )) = dim (Im( f )) ,
il en résulte que f est bijective ; de même, g est bijective.
Notons θ = f ◦ g
−1 , qui est un isomorphisme de R -ev de
Im(g) sur Im( f ) . De plus, θ conserve la norme car :
∀ t ∈ Im(g), ||θ(t)|| = || f (g
−1 (t))|| = ||g(g
−1 (t))||
= ||g
(g
−1 (t))|| = ||t||.
• Notons F = (Im( f )) ⊥ , G = (Im(g)) ⊥ .
Comme dim (F ) = dim(G ), il existe un isomorphisme
ϕ : G −→ F conservant la norme (il suffit d'envoyer une b.o.n.
de G sur une b.o.n. de F ).
• Notons h l'endomorphisme de E obtenu par recollement de
θ et ϕ , c'est-à-dire l'élément de L(E) défini par :
∀ x ∈ Im(g),
h(x) = θ(x)
∀ x ∈ (Im(g)) ⊥ , h(x) = ϕ(x).
Soit x ∈ E.
Il existe (u,v) ∈ Im(g) × (Im(g)) ⊥ tel que x = u + v.
On a :
||h(x)|| 2 = ||h(u) + h(v)|| 2 = ||h(u)|| 2 + ||h(v)|| 2 ,
car h(u) ∈ Im ( f ) et h(v) ∈ (Im ( f )) ⊥ ,
puis : ||h(u) + h(v)|| 2 = ||θ(u)|| 2 + ||ϕ(v)|| 2
= ||u|| 2 + ||v|| 2 = ||x|| 2 .
Ceci montre : h ∈ O(E).
• Soit t ∈ E . Il existe (x,z) ∈ F × Ker ( f ) tel que t = x + z .
Puisque g(z) = f (z) = 0, on a :
h(g(t)) = θ(g
(x)) = f
(x) = f (x) = f (t).
Ainsi : h ◦ g = f .
b) C'est la traduction matricielle du a).
Remarque :
On peut déduire ce b) de l'ex. 4.5.53.
En effet, soit (A,B) ∈ (M n (R)) 2 tel que t A A = t B B .
Comme t A A ∈ S +
n , il existe Ω 1 ∈ O n (R), D ∈ D n (R) telles
que t A A = Ω 1 D 2 Ω
−1
1 .
En notant A = Ω
−1
1 AΩ 1 et B = Ω
−1
1 BΩ 1 , on a :
t A A = Ω
−1
1
t A AΩ 1 = D 2 et t B B = D 2 .
D'après l'exercice 4.5.53, il existe Ω 2 ,Ω 3 ∈ O n (R) telles
que : A = Ω 2 D et B = Ω 3 D .
On déduit :
A = Ω 1 A Ω
−1
1 = Ω 1 Ω 2 DΩ
−1
1
B = Ω 1 B Ω
−1
1 = Ω 1 Ω 3 DΩ
−1
1
,
d'où A = Ω B, où Ω = Ω 1 Ω 2 Ω
−1
3 Ω
−1
1 ∈ O n (R).
Soit A ∈ GL n (R).
Existence
Comme t A A ∈ S ++
n , on peut considérer S = ( t A A)
1
2 ∈ S ++
n
(cf. ex. 4.5.62), puis Ω = AS −1 .
On a : t ΩΩ = t S −1 t A AS −1 = S −1 S 2 S −1 = I n ,
donc Ω ∈ O n (R).
Unicité
Soit (Ω,S) ∈ O n (R) × S ++
n tel que A = Ω S.
Alors : t A A = S t ΩΩ S = S 2 , d'où par l'unicité de la racine
carrée de t A A dans S +
n (cf. ex. 4.5.62) : S = ( t A A)
1
2 ; puis
Ω = AS −1 .
Variante pour l'unicité, utilisant l'ex. 4.5.49 :
Soient Ω,Ω ∈ O n (R) , S,S ∈ S ++
n
telles que Ω S = Ω S .
Alors Ω
−1 Ω = S S −1 ; mais Ω
−1 Ω ∈ O n (R) et S S −1 est
le produit de deux matrices de S ++
n , donc (ex. 4.5.49) S S −1
est diagonalisable et à valeurs propres toutes > 0 . Donc
Ω
−1 Ω est orthogonale, diagonalisable dans M n (R) et à valeurs propres > 0 , d'où facilement Ω
−1 Ω = I n , puis Ω = Ω ,
S = S.
Puisque GL n (R) est dense dans M n (R), il existe une suite
(M k ) k∈N dans GL n (R) telle que M k −→
k∞
M.
D'après l'ex. 4.5.68, pour chaque k de N , il existe (Ω k ,S k ) ∈
O n (R) × S ++
n tel que M k = Ω k S k .
Comme O n (R) est compact (car fermé borné dans M n (R)), il
existe une extractrice σ et Ω ∈ O n (R) telles que Ω σ (k) −→
k∞
Ω .
Alors :
S σ (k) = Ω
−1
σ (k) M σ (k) −→
k∞
Ω −1 M.
Notons S = Ω −1 M, de sorte que déjà : M = Ω S .
4.5.67
4.5.68
4.5.69
a) • On a Ker ( f ) = Ker (g) , car, pour tout x de E :
f (x) = 0 ⇐⇒ || f (x)|| = 0 ⇐⇒ ||g(x)|| = 0
⇐⇒ g(x) = 0.
D'après le théorème du rang, il en résulte :
dim (Im( f )) = dim (E) − dim (Ker ( f ))
= dim (E) − dim (Ker (g)) = dim(Im(g)).
• Le sev Ker ( f ) (= Ker (g)) de E admet au moins un supplémentaire F dans E .
Notons f : F −→ Im( f )
x −→ f (x)
et g : F −→ Im(g)
x −→g(x)
.
L'application f est linéaire, et surjective car, pour tout y
de Im( f ) , il existe u ∈ E tel que y = f (u) , puis
(x,z) ∈ F × Ker ( f ) tel que u = x + z , et on a
y = f (u) = f (x) .
Puisque
dim (F) = dim (E) − dim (Ker ( f )) = dim (Im( f )) ,
il en résulte que f est bijective ; de même, g est bijective.
Notons θ = f ◦ g
−1 , qui est un isomorphisme de R -ev de
Im(g) sur Im( f ) . De plus, θ conserve la norme car :
∀ t ∈ Im(g), ||θ(t)|| = || f (g
−1 (t))|| = ||g(g
−1 (t))||
= ||g
(g
−1 (t))|| = ||t||.
• Notons F = (Im( f )) ⊥ , G = (Im(g)) ⊥ .
Comme dim (F ) = dim(G ), il existe un isomorphisme
ϕ : G −→ F conservant la norme (il suffit d'envoyer une b.o.n.
de G sur une b.o.n. de F ).
• Notons h l'endomorphisme de E obtenu par recollement de
θ et ϕ , c'est-à-dire l'élément de L(E) défini par :
∀ x ∈ Im(g),
h(x) = θ(x)
∀ x ∈ (Im(g)) ⊥ , h(x) = ϕ(x).
Soit x ∈ E.
Il existe (u,v) ∈ Im(g) × (Im(g)) ⊥ tel que x = u + v.
On a :
||h(x)|| 2 = ||h(u) + h(v)|| 2 = ||h(u)|| 2 + ||h(v)|| 2 ,
car h(u) ∈ Im ( f ) et h(v) ∈ (Im ( f )) ⊥ ,
puis : ||h(u) + h(v)|| 2 = ||θ(u)|| 2 + ||ϕ(v)|| 2
= ||u|| 2 + ||v|| 2 = ||x|| 2 .
Ceci montre : h ∈ O(E).
• Soit t ∈ E . Il existe (x,z) ∈ F × Ker ( f ) tel que t = x + z .
Puisque g(z) = f (z) = 0, on a :
h(g(t)) = θ(g
(x)) = f
(x) = f (x) = f (t).
Ainsi : h ◦ g = f .
b) C'est la traduction matricielle du a).
Remarque :
On peut déduire ce b) de l'ex. 4.5.53.
En effet, soit (A,B) ∈ (M n (R)) 2 tel que t A A = t B B .
Comme t A A ∈ S +
n , il existe Ω 1 ∈ O n (R), D ∈ D n (R) telles
que t A A = Ω 1 D 2 Ω
−1
1 .
En notant A = Ω
−1
1 AΩ 1 et B = Ω
−1
1 BΩ 1 , on a :
t A A = Ω
−1
1
t A AΩ 1 = D 2 et t B B = D 2 .
D'après l'exercice 4.5.53, il existe Ω 2 ,Ω 3 ∈ O n (R) telles
que : A = Ω 2 D et B = Ω 3 D .
On déduit :
A = Ω 1 A Ω
−1
1 = Ω 1 Ω 2 DΩ
−1
1
B = Ω 1 B Ω
−1
1 = Ω 1 Ω 3 DΩ
−1
1
,
d'où A = Ω B, où Ω = Ω 1 Ω 2 Ω
−1
3 Ω
−1
1 ∈ O n (R).
Soit A ∈ GL n (R).
Existence
Comme t A A ∈ S ++
n , on peut considérer S = ( t A A)
1
2 ∈ S ++
n
(cf. ex. 4.5.62), puis Ω = AS −1 .
On a : t ΩΩ = t S −1 t A AS −1 = S −1 S 2 S −1 = I n ,
donc Ω ∈ O n (R).
Unicité
Soit (Ω,S) ∈ O n (R) × S ++
n tel que A = Ω S.
Alors : t A A = S t ΩΩ S = S 2 , d'où par l'unicité de la racine
carrée de t A A dans S +
n (cf. ex. 4.5.62) : S = ( t A A)
1
2 ; puis
Ω = AS −1 .
Variante pour l'unicité, utilisant l'ex. 4.5.49 :
Soient Ω,Ω ∈ O n (R) , S,S ∈ S ++
n
telles que Ω S = Ω S .
Alors Ω
−1 Ω = S S −1 ; mais Ω
−1 Ω ∈ O n (R) et S S −1 est
le produit de deux matrices de S ++
n , donc (ex. 4.5.49) S S −1
est diagonalisable et à valeurs propres toutes > 0 . Donc
Ω
−1 Ω est orthogonale, diagonalisable dans M n (R) et à valeurs propres > 0 , d'où facilement Ω
−1 Ω = I n , puis Ω = Ω ,
S = S.
Puisque GL n (R) est dense dans M n (R), il existe une suite
(M k ) k∈N dans GL n (R) telle que M k −→
k∞
M.
D'après l'ex. 4.5.68, pour chaque k de N , il existe (Ω k ,S k ) ∈
O n (R) × S ++
n tel que M k = Ω k S k .
Comme O n (R) est compact (car fermé borné dans M n (R)), il
existe une extractrice σ et Ω ∈ O n (R) telles que Ω σ (k) −→
k∞
Ω .
Alors :
S σ (k) = Ω
−1
σ (k) M σ (k) −→
k∞
Ω −1 M.
Notons S = Ω −1 M, de sorte que déjà : M = Ω S .
4.5.67
4.5.68
4.5.69