Ou encore, on sait que O(E) est fermé dans L(E) , donc fermé
dans A, puisque O(E) ⊂ A ⊂ L(E).
3) Montrons : O(E) = A ∩ GL(E).
L'inclusion O(E) ⊂ A ∩ GL(E) est déjà acquise.
Soit f ∈ A ∩ GL(E). Alors f ◦ f ∗ ◦ f = f et f est inversible,
d'où f ∗ ◦ f = e, donc f ∈ O(E) .
Ainsi : O(E) = A ∩ GL(E). Comme GL(E) est ouvert dans
L(E) , il en résulte que O(E) est ouvert dans A.
1) Existence (cf. aussi ex. 4.5.26)
D'après le théorème fondamental, il existe (λ 1 ,. . . ,λ n )
∈ (R + ) n et Ω ∈ O n (R) tels qu'en notant
D = diag (λ 1 ,. . . ,λ n ), on ait S = Ω DΩ −1 .
Considérons ∆ = diag(
√
λ 1 ,. . . ,
√
λ n ), et R = Ω∆Ω −1 .
Alors :
• R 2 = Ω∆ 2 Ω −1 = Ω DΩ −1 = S
• t R = t Ω −1 ∆ t Ω = Ω∆Ω −1 = R, donc R ∈ S n (R)
• R ∈ S +
n car R ∈ S n (R) et Sp R (R) ⊂ R + .
2) Unicité
Soit R ∈ S +
n telle que R 2 = S .
• On a :
Sp R (R) ⊂ {
√
µ; µ ∈ Sp R (S)}
∀ λ ∈ Sp R (R), SEP(R,λ) ⊂ SEP(S,λ 2 )
,
car : ∀ λ ∈ R, ∀ X ∈ M n,1 (R),
(R X = λX ⇒ S X = R 2 X = λ 2 X).
Puisque R et S sont diagonalisables, on déduit :
M n,1 (R) =
λ∈Sp R (R)
SEP(R,λ)
⊂
λ∈Sp R (R)
SEP(S,λ 2 ) ⊂
µ∈Sp R (S)
SEP(S,µ)
= M n,1 (R),
d'où nécessairement :
Sp R (S) = {λ 2 ; λ ∈ Sp R (R)}
∀ λ ∈ Sp R (R), SEP(R,λ) = SEP(S,λ 2 )
.
• Il existe Ω ∈ O n (R), D ∈ D n (R) telles que :
S = Ω DΩ −1 .
D'après le résultat précédent, il existe D ∈ D n (R) telle que
R = Ω D Ω −1 . Comme R ∈ S +
n , D est formée des racines carrées des éléments de D, dans l’ordre, d'où l'unicité de R.
a) Supposons Ω ∼ S . Alors : Sp C (Ω) = Sp C (S) ⊂ R + .
Comme Ω ∈ O n (R), il s'ensuit : Sp C (Ω) = {1}.
Puisque S est diagonalisable et que Sp R (S) = {1}, on a S ∼ I n ,
et donc S = I n
343
b) En notant S = S
− 1
2 (Ω S)S
− 1
2 , on a :
Ω = S
1
2 S S
− 1
2 ∼ S
S ∈ S +
n
, d'où, d'après a) : Ω = I n .
(i) ⇒ (ii) :
Supposons qu'il existe P ∈ GL n (R), S ∈ S ++
n
telles que
M = P S P −1 .
Alors, en notant A = P S
1
2 t P et B = t P −1 S
1
2 P −1 , on a :
M = P S
1
2 t P t P −1 S
1
2 P −1 = AB
A ∈ S ++
n , B ∈ S ++
n .
(ii) ⇒ (i) :
Supposons qu'il existe A,B ∈ S ++
n
telles que M = AB.
En notant F = A
1
2 , on a :
M = F 2 B = F(F B F)F −1 ∼ F B F
F B F ∈ S ++
n
.
1) Si R commute avec M , alors, comme A(= R 2 ) est un polynôme en R, A commute avec M .
2) Réciproquement, supposons AM = M A.
Il existe Ω ∈ O n (R), D = diag(λ 1 ,. . . ,λ n ) ∈ D n (R) telles
que A = Ω DΩ −1 , et : ∀ i ∈ {1,. . . ,n},λ i 0 .
En notant ∆ = diag (
√
λ 1 ,. . . ,
√
λ n ), on a (cf. ex. 4.5.62) :
R = Ω∆Ω −1 .
Il existe P ∈ R[X] tel que : ∀ i ∈ {1,. . . ,n},P(λ i ) =
√
λ i .
En effet, il suffit de choisir un polynôme d'interpolation sur
les λ i deux à deux distincts.
Alors : ∆ = diag
P(λ 1 ),. . . P(λ n )
= P(D), puis :
R = Ω∆Ω −1 = Ω P(D)Ω −1 = P(Ω DΩ −1 ) = P(A).
Ainsi, R est un polynôme en A. Comme A commute avec M ,
on en déduit que R commute avec M .
1) Soit B ∈ S ++
n telle que AB = B A et (AB) 2 = −I n .
Alors A 2 B 2 = −I n , d'où B 2 = (−A 2 ) −1 ,
puis B = ((−A 2 ) −1 )
1
2 , sous réserve d'existence.
2) Réciproquement, −A 2 ∈ S ++
n car :
∀ X ∈ M n,1 (R) − {0}, t X (−A 2 )X
= t X t A AX = ||AX|| 2 > 0.
On peut donc définir B = ((−A 2 ) −1 )
1
2 .
Alors B commute avec A (car (−A 2 ) −1 commute avec A, cf.
ex. 4.5.65), et :
(AB) 2 = A 2 B 2 = A 2 (−A 2 )
−1 = −I n .
4.5.63
4.5.62
4.5.64
4.5.65
4.5.66