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(ii) ⇒ (i) :
Supposons que les sev (F ∩ G) ⊥ ∩ F et (F ∩ G) ⊥ ∩ G soient
orthogonaux.
1) Soit x ∈ E. On a :
∀ z ∈ F ∩ G,
< p(x − q(x)),z > = < x − q(x), p(z) > = 0 ,
puisque p est symétrique et que
x − q(x) ∈ Ker (q) = G ⊥
p(z) = z ∈ G
Ainsi : ∀ x ∈ E, p(x − q(x)) ∈ (F ∩ G) ⊥ , et donc :
∀ x ∈ E, p(x − q(x)) ∈ (F ∩ G) ⊥ ∩ F .
De même : ∀ y ∈ E, q(y − p(y)) ∈ (F ∩ G) ⊥ ∩ G.
D'après l'hypothèse :
∀ (x,y) ∈ E 2 , < p(x − q(x)), q(y − p(y)) > = 0.
2) Soit x ∈ F ⊥ = Ker( p). D'après le résultat précédent :
∀ y ∈ E, < − p(q(x)), q(y − p(y)) > = 0.
En particulier, en remplaçant y par x :
< − p(q(x)), q(x) >= 0,
d'où : 0 = < p ◦ q(x), q(x) > = < p 2 ◦ q(x),q(x) >
= < p ◦ q(x), p ◦ q(x) > = ||p ◦ q(x)|| 2 ,
donc p ◦ q(x) = 0, et en particulier : p ◦ q(x) = q ◦ p(x).
Ceci montre que F ⊥ est stable par q.
3) Comme F ⊥ est stable par q et que q est symétrique, on en
déduit aisément que F(= F ⊥ ⊥ ) est aussi stable par q. Donc :
∀ x ∈ F, q(x) ∈ F, c'est-à-dire :
∀ x ∈ F, (p ◦ q)(x) = q(x) = (q ◦ p)(x) .
4) On a prouvé que p ◦ q et q ◦ p coïncident sur F et sur F ⊥
qui sont supplémentaires dans E , donc p ◦ q = q ◦ p.
a) (i) ⇒ (ii) :
Supposons f ∈ A . Alors : ( f ∗ ◦ f ) 2 = f ∗ ◦ ( f ◦ f ∗ ◦ f )
= f ∗ ◦ f, donc f ∗ ◦ f est un projecteur de E . De plus
( f ∗ ◦ f ) ∗ = f ∗ ◦ f. Ainsi, f ∗ ◦ f est un projecteur symétrique
de E , donc est un projecteur orthogonal (cf. ex. 4.3.1).
(ii) ⇒ (iii) :
Supposons que f ∗ ◦ f soit un projecteur orthogonal de E .
Soit x ∈ (Ker ( f )) ⊥ . On a :
|| f (( f ∗ ◦ f )(x) − x)|| 2
= < f
∗ ◦ f ◦ f
∗ ◦ f (x) − f
∗ ◦ f (x), f
∗ ◦ f (x) −x >
= 0,
donc f (( f ∗ ◦ f )(x) − x) = 0, f ∗ ◦ f (x) − x ∈ Ker ( f ).
On déduit < f ∗ ◦ f (x) − x,x > = 0, d'où :
|| f (x)|| 2 =< f (x), f (x) > = < f ∗ ◦ f (x),x >
= < x,x > = ||x|| 2 .
(iii) ⇒ (i) :
Supposons : ∀ x ∈ (Ker ( f )) ⊥ , || f (x)|| = ||x||.
Soit u ∈ E. Il existe (y,z) ∈ (Ker( f )) ⊥ × (Ker ( f )) tel que
u = y + z. On a alors f (u) = f (y) .
Montrons f ∗ ◦ f (y) = y.
• y ∈ (Ker ( f )) ⊥ , donc || f (y)|| = ||y||, d'où :
|| f
∗ ◦ f (y)− y|| 2 =|| f
∗ ◦ f (y)|| 2 − 2|| f (y)|| 2 +||y|| 2
=|| f
∗ ◦ f (y)|| 2 − || f (y)|| 2
• f ∗ ◦ f (y) ∈ (Ker ( f )) ⊥ car :
∀ t ∈ Ker ( f ), < t, f ∗ ◦ f (y) > = < f (t), f (y) > = 0.
Donc || f ( f ∗ ◦ f (y))|| = || f ∗ ◦ f (y)||, d'où comme ci-dessus :
|| f ◦ f ∗ ◦ f (y) − f (y)|| 2
= || f ◦ f
∗ ◦ f (y)|| 2 − 2|| f
∗ ◦ f (y)|| 2 + || f (y)|| 2
= −|| f
∗ ◦ f (y)|| 2 + || f (y)|| 2 .
En additionnant les deux résultats précédents, on déduit :
|| f ∗ ◦ f (y) − y|| 2 = || f ◦ f ∗ ◦ f (y) − f (y)|| 2 = 0,
donc f ∗ ◦ f (y) = y.
Alors :
f ◦ f ∗ ◦ f (u) = f ◦ f ∗ ◦ f (y) = f (y) = f (u),
et finalement f ∈ A.
b) 1) D'après a) (implication i ⇒ iii), on a déjà :
Ker ( f ) ⊂ {x ∈ E; || f (x)|| = ||x||}.
2) Soit x ∈ E tel que || f (x)|| = ||x||. On a :
|| f ∗ ◦ f (x)−x|| 2 =|| f ∗ ◦ f (x)|| 2 − 2|| f (x)|| 2 + ||x|| 2
= < f (x), f ◦ f
∗ ◦ f (x) > −2|| f (x)|| 2 + ||x|| 2
= −|| f (x)|| 2 + ||x|| 2 = 0,
donc f ∗ ◦ f (x) = x.
3) Soit x ∈ E tel que f ∗ ◦ f (x) = x. On a, pour tout z de
Ker ( f ) :
< x,z > = < f ∗ ◦ f (x),z > = < f (x), f (z) > = 0,
ce qui montre : x ∈ (Ker ( f )) ⊥ .
c) 1) f ∈ O(E) ⇐⇒ f ∗ ◦ f = e ⇒ f ◦ f ∗ ◦ f = f
⇐⇒ f ∈ A, donc O(E) ⊂ A.
2) Soient ( f k ) k∈N une suite dans O(E) et f ∈ A tels que :
f k −→
k∞
f. On a :
∀ k ∈ N, f ∗
k ◦ f k = f k ◦ f ∗
k = e,
d'où, en passant à la limite et en remarquant f ∗
k −→
k∞
f ∗ (dans
L(E) ) : f ∗ ◦ f = f ◦ f ∗ = e, donc f ∈ O(E) .
Ceci montre que O(E) est fermé dans A.
4.5.61