348
Cf. ex. 4.3.2 p. 153.
Cf. ex. 4.2.2 p. 141.
Cf. ex. 4.2.3 p. 141.
Cf. ex. 4.2.5 p. 141.
Réponse :
• Ker (A ∗ A) = Ker (A), Ker (A A ∗ ) = Ker (A ∗ )
• Im(A ∗ A) = Im(A ∗ ), Im(A A ∗ ) = Im(A)
• rg (A) = rg (A ∗ ) = rg (A ∗ A) = rg (A A ∗ ) .
En notant H = A A ∗ , on a :
H ∗ = (A A ∗ ) ∗ = A A ∗ = H
H ∗ = (A − A ∗ ) ∗ = A ∗ − A = −H
,
d'où H = 0.
Puis, comme A A ∗ = 0, on déduit A = 0 (cf. ex. 5.2.2).
Remarquons d'abord que A ∗ A ∈ M p (C)
et rg (A ∗ A) = rg (A) = p (cf. ex. 5.2.3),
donc (A ∗ A) −1 existe.
Puis, H = B ∗ B − B ∗ A(A ∗ A) −1 A ∗ B existe et H ∈ H q .
(i) ⇒ (ii) :
Supposons qu'il existe (X,Y ) ∈ M p,1 (C) × M q,1 (C) tel que :
(X,Y ) = (0,0) et AX = BY.
• Y = 0, car sinon : AX = BY = 0, A ∗ AX = 0, X = 0.
• HY = B ∗ AX − B ∗ A(A ∗ A) −1 A ∗ AX
= B ∗ AX − B ∗ AX = 0.
Donc H n'est pas inversible.
(ii) ⇒ (i) :
Supposons H non inversible.
Il existe Y ∈ M q,1 (C) tel que : Y = 0 et HY = 0.
Notons X = (A ∗ A) −1 A ∗ BY, de sorte que
A ∗ AX = A ∗ BY et B ∗ AX = (B ∗ A(A ∗ A) −1 A ∗ B)Y
= (B ∗ B − H )Y = B ∗ BY .
• (X,Y ) = (0,0) car Y = 0. Et même, plus précisément, X = 0
car sinon : B ∗ BY = B ∗ AX = 0, Y = 0 .
• ||AX − BY || 2
2 = (AX − BY )
∗ (AX − BY )
= (X
∗ A
∗ − Y
∗ B
∗ )(AX − BY )
= X
∗ A
∗ AX − X
∗ A
∗ BY − Y
∗ B
∗ AX
+ Y
∗ B
∗ BY
= X
∗ (A
∗ AX − A
∗ BY )
− Y
∗ (B
∗ AX − B
∗ BY ) = 0,
d'où AX = BY.
Notons X =



x 1
. . .
x n


. Le cas X = 0 étant d'étude triviale, supposons X = 0.
1) p = 1, q = ∞
• Soit Y =



y 1
. . .
y n


 ∈ M n,1 (C) tel que
||Y || 1 =
n
k=1
|y k | = 1.
On a :
|Y
∗ X| =
n
k=1
y k x k
n
k=1
|y k | |x k |
Max
1kn
|x k |
n
k=1
|y k |
= ||X|| ∞ ||Y || 1 = ||X|| ∞ .
• Il existe j ∈ {1,. . . ,n} tel que |x j | = ||X|| ∞ .
Considérons Y =



y 1
. . .
y n


 défini par :
∀ k ∈ {1,. . . ,n}, y k =
x j
|x j |
si k = j
0
si k = j
.
On a alors
||Y || 1 = 1 et |Y ∗ X| =
x j
|x j |
x j = |x j | = ||X|| ∞ .
2) p = 2, q = 2
• D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, pour tout Y de
M n,1 (C) tel que ||Y || 2 = 1 :
|Y
∗ X| ||Y || 2 ||X|| 2 = ||X|| 2 .
• En choisissant Y =
X
||X|| 2
, on a ||Y || 2 = 1
et |Y ∗ X| =
1
||X|| 2
X ∗ X =
1
||X|| 2
||X|| 2
2 = ||X|| 2 .
3) p = ∞, q = 1
• Soit Y =



y 1
. . .
y n


 ∈ M n,1 (C) tel que
||Y || ∞ = Max
1kn
|y k | = 1 .
On a :
|Y
∗ X| =
n
k=1
y k x k
n
k=1
|y k | |x k |
Max
1kn
|y k |
n
k=1
|x k |
= ||Y || ∞ ||X|| 1 = ||X|| 1 .
5.2.6
5.1.7
5.2.1
5.2.2
5.2.3
5.2.4
5.2.5