• Puisque S n (R) = θ −1 ({0}), où θ : M n (R) −→ M n (R)
A −→ t A − A
est
continue et {0} fermé, S n (R) est fermé dans M n (R), et donc
S ∈ S n (R) .
• Puisque S +
n est fermé dans S n (R) (cf. ex. 4.5.20) et que, pour
tout k de N , S k − A ∈ S +
n , on a :
S − A = lim
k∞
(S k − A) ∈ S
+
n ,
donc A S.
De même : S B.
Ainsi : S ∈ E .
Ceci montre que E est fermé dans M n (R) (et dans S n (R )).
2) E est borné
Munissons M n,1 (R) de la norme euclidienne canonique (définie par ||X|| = ( t X X)
1
2 ) , et M n (R) de la norme subordonnée |||.||| (cf. Analyse PC-PSI-PT, § 1.3.4) définie par :
|||M||| =
Sup
X∈M n,1 (R)−{0}
||M X||
||X||
.
On sait (Analyse PC-PSI-PT, § 1.3.4) que |||.||| est une norme
multiplicative.
Soit S ∈ E ; notons S = S − A, B = B − A. On a ainsi :
0 S B .
D'après l'ex. 4.5.26, S et B admettent des racines carrées dans
S +
n . On a, pour tout X de M n,1 (R) :
||S
1
2 X|| 2 = t X S
X t X B
X
= ||B
1
2 X|| 2 |||B
1
2 ||| 2 ||X|| 2 ,
d'où : |||S
1
2 ||| |||B
1
2 |||,
puis :
|||S ||| = |||
S
1
2
2 ||| |||S
1
2 ||| 2 |||B
1
2 ||| 2 ,
et enfin :
|||S||| |||S − A||| + |||A||| |||B
1
2 ||| 2 + |||A|||.
Ceci montre que E est borné.
3) Comme E est une partie fermée bornée dans un evn de dimension finie (M n (R) ou S n (R) ), on conclut : E est compact.
a) Par produits par blocs :
t ΩΩ = I n
Ω t Ω = I n
⇐⇒
t A A + t CC = I p , t AB + t C D = 0,
t B B + t D D = I n− p
A t A + B t B = I p , A t C + B t D = 0,
C t C + D t D = I n− p
.
339
En particulier :
(det (A)) 2 = det ( t A A) = det (I p − t CC)
= (−1) p χ t CC (1)
(det (D)) 2 = det (D t D) = det(I n− p − C t C)
= (−1) n− p χ C t C (1).
D'après l'ex. 3.2.12 :
(−X) p χt CC (X) = (−X) n− p χ C t C (X) ,
d'où : (det (A)) 2 = (det(D)) 2 .
b) • Montrons : Sp R ( t A A) ⊂ [0; 1].
Soient λ ∈ Sp R ( t A A), X ∈ SEP( t A A,λ) .
Puisque t A A ∈ S +
n , on a déjà : λ 0.
D'autre part : t CCX = (I p − t A A)X = (1 − λ)X ,
donc 1 − λ ∈ Sp R ( t CC).
Comme t CC ∈ S +
n , on déduit 1 − λ 0.
Ceci montre : 0 λ 1.
• D'après le théorème fondamental, il existe :
Ω ∈ O n (R), D = diag(λ 1 ,. . . ,λ n ) ∈ D n (R)
telles que t A A = Ω DΩ −1 .
On vient de voir : ∀ i ∈ {1,. . . ,n},λ i ∈ [0; 1]. D'où :
(det (A)) 2 = det ( t A A) = det(D) =
n
i=1
λ i ∈ [0; 1].
1 ère méthode
D'après le théorème de réduction simultanée (4.5.3 Th.
p. 169) il existe P ∈ GL n (R), D ∈ D n (R) telles que :
A = t P P et B = t P D P.
On a alors : AB = t P P t P D P.
Notons M = P t P D P t P , qui est symétrique; on a ainsi :
t P M = AB t P.
Puisque AB est nilpotente, il existe k ∈ N − {0,1} tel que
(AB) k = 0. On déduit alors :
t P M
k = (AB)
k t P = 0,
d'où, puisque P ∈ GL n (R), M k = 0.
Ainsi, M est symétrique et nilpotente.
D'après le théorème fondamental (4.5.1 Th. p. 164), il existe
Ω ∈ O n (R), ∆ ∈ D n (R) telles que M = Ω∆Ω −1 .
On a : ∆ k = Ω −1 M k Ω = 0, donc (puisque ∆ est diagonale)
∆ = 0, puis M = 0.
Puisque P t P D P t P = 0 et P ∈ GL n (R), on déduit D = 0 ,
puis B = t P D P = 0 .
2 ème méthode
D'après l'ex. 4.5.26, il existe R ∈ S ++
n
telle que A = R 2 .
On a :
AB = R 2 B = R(R B R)R
−1 ∼ R B R.
4.5.52
4.5.53
A −→ t A − A
est
continue et {0} fermé, S n (R) est fermé dans M n (R), et donc
S ∈ S n (R) .
• Puisque S +
n est fermé dans S n (R) (cf. ex. 4.5.20) et que, pour
tout k de N , S k − A ∈ S +
n , on a :
S − A = lim
k∞
(S k − A) ∈ S
+
n ,
donc A S.
De même : S B.
Ainsi : S ∈ E .
Ceci montre que E est fermé dans M n (R) (et dans S n (R )).
2) E est borné
Munissons M n,1 (R) de la norme euclidienne canonique (définie par ||X|| = ( t X X)
1
2 ) , et M n (R) de la norme subordonnée |||.||| (cf. Analyse PC-PSI-PT, § 1.3.4) définie par :
|||M||| =
Sup
X∈M n,1 (R)−{0}
||M X||
||X||
.
On sait (Analyse PC-PSI-PT, § 1.3.4) que |||.||| est une norme
multiplicative.
Soit S ∈ E ; notons S = S − A, B = B − A. On a ainsi :
0 S B .
D'après l'ex. 4.5.26, S et B admettent des racines carrées dans
S +
n . On a, pour tout X de M n,1 (R) :
||S
1
2 X|| 2 = t X S
X t X B
X
= ||B
1
2 X|| 2 |||B
1
2 ||| 2 ||X|| 2 ,
d'où : |||S
1
2 ||| |||B
1
2 |||,
puis :
|||S ||| = |||
S
1
2
2 ||| |||S
1
2 ||| 2 |||B
1
2 ||| 2 ,
et enfin :
|||S||| |||S − A||| + |||A||| |||B
1
2 ||| 2 + |||A|||.
Ceci montre que E est borné.
3) Comme E est une partie fermée bornée dans un evn de dimension finie (M n (R) ou S n (R) ), on conclut : E est compact.
a) Par produits par blocs :
t ΩΩ = I n
Ω t Ω = I n
⇐⇒
t A A + t CC = I p , t AB + t C D = 0,
t B B + t D D = I n− p
A t A + B t B = I p , A t C + B t D = 0,
C t C + D t D = I n− p
.
339
En particulier :
(det (A)) 2 = det ( t A A) = det (I p − t CC)
= (−1) p χ t CC (1)
(det (D)) 2 = det (D t D) = det(I n− p − C t C)
= (−1) n− p χ C t C (1).
D'après l'ex. 3.2.12 :
(−X) p χt CC (X) = (−X) n− p χ C t C (X) ,
d'où : (det (A)) 2 = (det(D)) 2 .
b) • Montrons : Sp R ( t A A) ⊂ [0; 1].
Soient λ ∈ Sp R ( t A A), X ∈ SEP( t A A,λ) .
Puisque t A A ∈ S +
n , on a déjà : λ 0.
D'autre part : t CCX = (I p − t A A)X = (1 − λ)X ,
donc 1 − λ ∈ Sp R ( t CC).
Comme t CC ∈ S +
n , on déduit 1 − λ 0.
Ceci montre : 0 λ 1.
• D'après le théorème fondamental, il existe :
Ω ∈ O n (R), D = diag(λ 1 ,. . . ,λ n ) ∈ D n (R)
telles que t A A = Ω DΩ −1 .
On vient de voir : ∀ i ∈ {1,. . . ,n},λ i ∈ [0; 1]. D'où :
(det (A)) 2 = det ( t A A) = det(D) =
n
i=1
λ i ∈ [0; 1].
1 ère méthode
D'après le théorème de réduction simultanée (4.5.3 Th.
p. 169) il existe P ∈ GL n (R), D ∈ D n (R) telles que :
A = t P P et B = t P D P.
On a alors : AB = t P P t P D P.
Notons M = P t P D P t P , qui est symétrique; on a ainsi :
t P M = AB t P.
Puisque AB est nilpotente, il existe k ∈ N − {0,1} tel que
(AB) k = 0. On déduit alors :
t P M
k = (AB)
k t P = 0,
d'où, puisque P ∈ GL n (R), M k = 0.
Ainsi, M est symétrique et nilpotente.
D'après le théorème fondamental (4.5.1 Th. p. 164), il existe
Ω ∈ O n (R), ∆ ∈ D n (R) telles que M = Ω∆Ω −1 .
On a : ∆ k = Ω −1 M k Ω = 0, donc (puisque ∆ est diagonale)
∆ = 0, puis M = 0.
Puisque P t P D P t P = 0 et P ∈ GL n (R), on déduit D = 0 ,
puis B = t P D P = 0 .
2 ème méthode
D'après l'ex. 4.5.26, il existe R ∈ S ++
n
telle que A = R 2 .
On a :
AB = R 2 B = R(R B R)R
−1 ∼ R B R.
4.5.52
4.5.53